Voici la définition rigoureuse de ce problème:  https://fr.wikipedia.org/wiki/Probl%C3%A8me_du_sac_%C3%A0_dos

Pour commencer, en quoi est-ce que le problème du sac à dos a un lien avec les mathématiques?

Comment résoudre ce problème alors?

C'est pourquoi en cours de maths quand un élève dit que quelque chose est difficile, le professeur répond souvent "as-tu appris ta leçon? qu'est ce que tu ne comprends pas dans l'énoncé? Où est ce que tu es bloqué?" . En réalité tout ce qu'on enseigne aux élèves jusqu'en Terminale Spé Maths ce n'est jamais réellement "difficile" au sens mathématiques. Certes cela demande de l'effort pour le résoudre mais en soi ce n'est pas mathématiquement difficile à résoudre. Or le problème du sac à dos est un exemple de ce qu'on peut objectivement considérer comme un problème difficile à résoudre.

Et pourtant lorsque j'ai préparé mes cours de 6e sur le nouveau programme de 2025 avec les modèles pré-algébriques j'ai clairement trouvé que ce serait difficile pour les élèves.  Par exemple le problème suivant:

Mais en soi ce n'est pas un problème difficile vu qu'il existe des méthodes expertes pour le résoudre. En effet, tout élève qui a déjà vu le calcul littéral utilisera instinctivement de lettres et procèdera à une mise en équation pour le résoudre, et ainsi il arrivera à la solution sans trop d'efforts. La difficulté pour l'élève de 6e réside dans le fait qu'il lui manque des outils pour le résoudre facilement, néanmoins il peut y arriver en raisonnant de façon astucieuse. La preuve si je te dis que j'ai 2 ananas et 2 melons qui font 10€ tu trouveras facilement le prix d'1 ananas et 1 melon. indice: 🍍🍍🍈🍈=10€ donc      🍍🍈+🍍🍈=5€+5€ il n'y a pas de raison qu'un des deux lots coûte plus cher que l'autre, vu que dans le merveilleux monde des mathématiques quand on a deux melons ils sont forcément exactement identiques: même poids, même forme, même couleur, même goût etc.. sinon ce ne seraient pas des mathématiques mais de la sciences-physiques hein 😅.

Bref de même pour les mathématiciens pour les problèmes difficiles il n'existe pas (pas encore) d'outils pour les résoudre simplement.

Donc comment savoir si un problème est difficile mathématiquement? 

Que veut dire NP dans NP-difficile?

Et en quoi est-ce utile vu qu'on ne sait pas les résoudre facilement?

Donc pour finir j'ai envie d'avoir un exemple  de jeu:

J'espère que tu as cherché d'abord sinon tu ne retireras aucune satisfaction de connaître cette solution! Allez hop hop hop, retourne prendre ton cahier et ton crayon pour chercher, ton plaisir n'en sera que plus grand si tu trouves la solution tout seul, et ton cerveau s'en rappellera toute ta vie☺️! 

Voici la définition rigoureuse de ce théorème:  https://www.bibmath.net/dico/index.php?action=affiche&quoi=./c/cayleyhamilton.html

Pour commencer qu'est ce qu'une matrice, et c'est quoi un polynôme caractéristique? 

Que dit alors ce théorème?

Comment cela se traduit-il mathématiquement?

Tout ce dont je me rappelais avant de réviser ce théorème c'est que dans l'exemple ci-dessus le 5 correspond à la trace de la matrice ( la somme des coefficients situés sur la diagonale: 1+4=5) et que le -2 correspond au déterminant de la matrice (1x4 -2x3). Mais cela ne me disait pas plus à quoi ça sert!🤡

Dans quel cas on s'en sert? 

Donc je comprends que ça peut être utile pour calculer des puissances de matrices. Mais pour les valeurs propres du polynome caractéristique à quoi elles servent?

Donc pour finir j'ai envie d'avoir un exemple concrêt de la vie de tous les jours qui peut être résolu avec le théorème de Cayley Hamilton.

Et bien sûr je ne résiste pas à l'envie de demander un énoncé qui utilise les chaines de Markov

Voici la définition rigoureuse de ce théorème:  https://www.bibmath.net/dico/index.php?action=affiche&quoi=./b/borelcantelli.html

Pour commencer qu'est ce qu'un lemme? En mathématiques un lemme est un théorème qui aide à démontrer un théorème plus large. En gros c'est une propriété nécessaire à la démonstration d'un théorème. 

Voila désormais tu sais ce qu'est le fameux Lemme de Borel-Cantelli. Alors la question que tu te poses naturellement c'est pourquoi est-ce un lemme et pas un théorème?

Comme le fameux Lemme de Fatou😅