B.1 Ecuații generalizate

În capitolul 2, Bazele senzorilor, este prezentată o clasificare a cantităților bazate pe termodinamică. Aici revedem ecuațiile de bază extinse cu domeniul magnetic.

Prima lege a termodinamicii este:

cu Θ este temperatura absolută și dσ este creșterea entropiei sistemului. Conform celei de-a doua legi a termodinamicii, conținutul energetic al unui volum infinit de mic dintr-un material dielectric elastic se schimbă prin adăugarea sau extragerea căldurii dQ (J) și prin lucrul dW (J) exercitat asupra lui

Lucrul dW este suma diferitelor forme de energie implicate (aici energia termică, mecanică, electrică și magnetică), deci:

Atunci când căldura este luată pe unitate de volum, această ecuație se citește:

care este variația în energia internă atunci când energia termică, mecanică, electrică și magnetică este furnizată sistemului. Rețineți că pentru entropie am folosit același simbol, dar dimensiunea este acum J/Km³.

Aparent, în această ecuație, numai variabilele-through afectează sistemul. Dacă, pe de altă parte, numai variabilele-across afectează starea energetică a sistemului, ecuația pentru variația energiei pe unitate de volum este:

unde G este energia liberă Gibbs a sistemului, care poate fi găsită din energia liberă U printr-o transformare Legendre.

Putem generaliza Ec. (B.4) ca

unde Ai și Bi sunt perechi de variabile conjugate. Rețineți că termenii intensiv și extensiv și-au pierdut semnificația inițială în aceste ecuații. Din Ec. (B.6) rezultă pentru parametrii Ai

Pe de altă parte, configurația sistemului sau materialul însuși cuplează variabilele conjugate ale fiecărei perechi. De exemplu, în domeniul mecanic, T și S sunt legate prin legea lui Hooke:

unde c este elasticitatea (sau rigiditatea) și s este conformitatea.

În general, variabila intensivă Ai și variabila extensivă Bi în cadrul unui domeniu sunt legate conform cu:

unde ci este o elasticitate (generalizată) și si este o complianță (generalizată). Acestea sunt ecuațiile de stare ale sistemului.

Din Ec. (B.3) și (B.4) rezultă că energia sistemului depinde de toți parametrii (generalizați):

dar deoarece Ai și Bi sunt legate prin Ec. (B.9) putem scrie:

Deci, pentru variații mici în parametrii Bi, variația în energie (așa cum este dată în Ec. (B.6)) devine:

Ecuația (B.9) leagă parametrii într-un singur domeniu. Dar, variabilele dintr-un domeniu sunt, de asemenea, legate de variabilele dintr-un alt domeniu, rezultând efecte încrucișate, baza pentru traductoare. Astfel

și, prin urmare, presupunând liniaritatea (numai mici variații):

unde gij reprezintă proprietățile materialului care leagă domeniile i și j. Invers, parametrul Bj depinde de toți parametrii Ai. Astfel, relațiile dintre variațiile mici ale parametrilor Ai și Bj pot fi descrise prin

Coeficienții gij și gji sunt egali. Acest lucru poate fi dovedit prin combinarea Ec. (B.14) și (B.7):

deoarece ordinea de diferențiere poate fi inversată.

B.2 Aplicarea la patru domenii

Punctul de plecare este Ec. (B.5) pentru domeniile mecanic, electric, magnetic și termic, care se repetă aici în această ordine:

Variabilele through pot fi scrise ca

Deoarece avem în vedere doar variații mici, variabilele S, D, B și Δσ sunt aproximate prin funcții lineare, deci

Combinând Eqs. (B.18) și (B.19) are ca rezultat

Derivatele de ordinul doi în diagonală reprezintă proprietăți în domeniile respective: mecanic, electric, magnetic și termic. Toate celelalte derivate reprezintă efecte încrucișate. Aceste derivate sunt egale pe perechi, deoarece ordinea de diferențiere nu este relevantă. Derivatele din Ec. (B.20) reprezintă proprietățile materialelor; ele au primit simboluri speciale. Variabilele care denotă constanța sunt puse ca exponent, pentru a face loc pentru indicii care arată orientarea.

Cele 16 efecte asociate sunt afișate în Tabelul B.1.

Tabelul B.1 Efectele fizice care corespund parametrilor din (B.21)

Unele dintre aceste efecte sunt menționate în figura 2.6 (capitolul 6, senzori inductivi și magnetici), cu aceleași sau alte nume. Parametrii ε, cp și s corespund celor din tabelele A.2, A.5 și A.8A din Anexa A. Tabelul B.2 rezumă parametrii cu simboluri și unități.

Tabelul B.2 Simbolurile, denumirile parametrilor și unitățile efectelor din tabelul B.1

B.3 Diagrame Heckmann

Constantele materialelor din domeniile mecanic, electric și termic sunt definite prin

(comparați Ec. (A.5) , (A.6) și (8.23)).

Când se prelungește cu interacțiunile reciproce dintre proprietățile mecanice și electrice (piezoelectricitate), se pot defini patru seturi de ecuații, în funcție de alegerea perechilor de cantități dependente și independente. Aceste ecuații sunt:

reprezentând în total opt proprietăți ale materialelor: perechile reciproce s-c și ε-β și patru parametri piezoelectrici (comparați tabelul 8.1 din cap. 8, senzori piezoelectrici). Aceste relații sunt vizualizate în diagrama Heckmann pentru domeniile electric și mecanic (Fig. B.1). Cercurile reprezintă variabilele de stare, iar săgețile reprezintă proprietățile materialelor.

Figura B.1 Diagrama Heckmann pentru două domenii.

Atunci când este inclus și domeniul termic, pot fi definite seturi de trei ecuații. Unul dintre ele este setul dat în capitolul 2, Fundamentele senzorilor, de către Ec. (2.10), obținându-se proprietățile materialelor cele mai practice. Figura B.2 prezintă diagrama Heckmann pentru trei domenii, unde săgețile duble sunt lăsate afară pentru claritate.

Figura B.2 Diagrama Heckmann pentru domeniile electric, mecanic și termic.