Niciun senzor nu este perfect. Proiectantul mecatronic trebuie să fie conștient de deficiențele senzorului pentru a putea evalua corect rezultatele măsurătorilor și pentru a face o evaluare corectă a performanței sistemului. Specificarea calității senzorului numai în ceea ce privește precizia nu este suficientă: este necesar un număr mai mare de parametri, precis definiți, pentru a caracteriza complet comportamentul senzorului. Deseori un proiectant poate reduce efectele limitărilor senzorului intrinsec prin aplicarea unor configurații, proceduri și metode speciale. Măsuri similare pot fi de asemenea luate în considerare atunci când influențele de mediu ar trebui eliminate. Acest capitol analizează cei mai importanți termeni pentru a exprima comportamentul senzorilor și prezintă câteva metode generale de proiectare pentru a reduce erorile datorate deficiențelor senzorilor și factorilor de mediu.

3.1 Specificația senzorului

Imperfecțiunile unui senzor sunt listate, de obicei, în fișele tehnice furnizate de producător. Aceste specificații ale senzorului informează utilizatorul cu privire la abaterile de la comportamentul ideal. Utilizatorul trebuie să accepte imperfecțiunile tehnice, atâta timp cât acestea nu depășesc valorile specificate.

Orice instrument de măsurare și, prin urmare, orice senzor trebuie să fie complet specificat în ceea ce privește performanța acestuia. Din nefericire, multe fișe de date arată lipsa de claritate și completitudinea. Treptat, se stabilesc acorduri internaționale privind descrierile formale de erori. O descriere completă a erorilor de măsurare și a terminologiei de eroare poate fi găsită în Ref. [1, 2], împreună cu un standard internațional privind nomenclatura și terminologia traductoarelor [3]. Diferitele comisii internaționale lucrează la un cadru uniform pentru a specifica senzorii [4]. În cele din urmă, un document special, care conține definiții ale termenilor legați de măsurare, este în curs de desfășurare: Vocabularul Internațional al Termenilor Generali și de Bază în Metrologie (pe scurt VIM) [5].

Caracteristicile care descriu performanța senzorului pot fi clasificate în patru grupe:

• Caracteristici statice, care descriu performanța în raport cu variații foarte lente ale măsurandului (cantitatea care trebuie măsurată) și ale condițiilor de mediu (de exemplu, temperatura care influențează sensibilitatea sau factorul de scalare, offset și drift).

• Caracteristici dinamice, specificând răspunsul senzorului la variațiile rapide ale măsurandului (de exemplu, lățimea de bandă și răspunsul la treaptă).

• Caracteristicile de mediu, legate de performanța senzorului după, sau în timpul expunerii la, condițiile externe specificate (cum ar fi presiunea, temperatura, vibrațiile, șocurile și radiațiile).

• Caracteristicile de fiabilitate, care descriu speranța de viață a senzorului.

Erori specifice pentru anumite tipuri de senzori sunt discutate în capitolele respective. În această secțiune se definesc mai întâi câteva specificații generale:

• sensibilitate

• neliniaritatea și histerezisul

• rezoluţie

• acuratețe

• offset și zero drift

• zgomot

• timpul de răspuns și

• răspunsul în frecvență

3.1.1 Sensibilitate

Sensibilitatea unui senzor este definită ca raportul dintre o modificare a valorii de ieșire și modificarea valorii de intrare care determină modificarea ieșirii. Din punct de vedere matematic, sensibilitatea este exprimată ca S = dy/dx, unde x este semnalul de intrare (măsurand) și y este semnalul de ieșire (un semnal electric). De obicei, un senzor este, de asemenea, sensibil la schimbări în alte cantități decât cantitatea de intrare dorită, cum ar fi temperatura ambiantă sau tensiunea de alimentare. Aceste sensibilități nedorite ar trebui specificate, de asemenea, pentru o interpretare corectă a rezultatului măsurătorii. Pentru a avea o mai bună înțelegere a efectului unor astfel de sensibilități nedorite, acestea sunt adesea legate de sensibilitatea cantității de măsură în sine.

Exemplul 1

Sensibilitatea unui senzor particular de deplasare, cu ieșire tensiune, este specificată la 10 mV/mm. Sensibilitatea sa la temperatură specificată este de 0,1 mV/K. Deoarece 0,1 mV corespunde unei deplasări de 10 μm, sensibilitatea la temperatură poate fi exprimată și ca 10 μm/K. O creștere a temperaturii de 5°C are ca rezultat o deplasare aparentă de 50 μm.

Exemplul 2

Sensibilitatea unui anumit senzor de temperatură este de 100 mV/K, incluzând unitatea de condiționare a semnalului. Partea de condiționare a semnalului în sine este, de asemenea, sensibilă la temperatura (ambientală) și pare să creeze o tensiune de ieșire suplimentară de 0,5 mV pentru fiecare creștere a temperaturii ambientale în grad Celsius (nu neapărat temperatura senzorului). Deci, sensibilitatea nedorită la temperatură este de 0,5 mV/K sau 0,5/100 = 5 mK/K. O modificare a temperaturii ambientale de ± 10°C dă o schimbare aparentă a temperaturii senzorului egală cu ± 50 mK.

3.1.2 Nelinearitatea și histerezisul

Dacă ieșirea y este o funcție liniară a intrării x, sensibilitatea S nu depinde de x. În cazul unei funcții de transfer neliniare y = f(x), S depinde de valoarea de intrare sau de ieșire. Adesea, este preferat un răspuns liniar pentru a reduce sarcina de calcul în, de exemplu, sistemele de control multisenzor. În acest caz, sensibilitatea poate fi exprimată cu un singur parametru. Mai mult decât atât, nelinearitatea introduce armonice ale frecvențelor semnalului de intrare, care pot împiedica analiza corectă a frecvenței semnalelor fizice.

Transferul unui senzor cu o ușoară neliniaritate poate fi aproximat printr-o linie dreaptă, pentru a specifica sensibilitatea acestuia doar cu un număr. Utilizatorul ar trebui să fie informat despre abaterea de la transferul efectiv; acest lucru este specificat prin eroarea de neliniaritate.

Eroarea de liniaritate a unui sistem este abaterea maximă a caracteristicii de transfer efective de la o linie dreaptă prescrisă. Producătorii specifică liniaritatea în diferite moduri, de exemplu ca deviația în unități de intrare sau de ieșire: Δx_max sau Δy_max sau ca o fracțiune din FS (full scale-scală maximă): Δx_max/x_max. Nelinearitatea ar trebui să fie dată întotdeauna împreună cu o specificare a liniei drepte. Sunt utilizate următoarele definiții:

• Neliniaritatea terminală: pe baza liniei terminale: o linie dreaptă între 0% și 100% puncte teoretice la FS.

• Neliniaritatea punctului final: pe baza liniei de punct final, linia dreaptă dintre punctele de capăt calibrate ale intervalului; coincide cu linia terminală (teoretică) după calibrarea la zero și la scară.

• Neliniaritate independentă: Referindu-se la linia dreaptă cea mai potrivită, conform unui criteriu de eroare specificat. De exemplu, linia la jumătatea distanței dintre două linii paralele care cuprind toate punctele de calibrare; dacă se folosește criteriul de eroare cu cele mai mici pătrate pentru linia dreaptă cea mai potrivită, această eroare de liniaritate este:

• Neliniaritatea celor mai mici pătrate: Bazându-se pe linia celor mai mici pătrate, linia pentru care însumarea pătratelor reziduurilor este minimă.

Histerezisul este diferența maximă în semnalul de ieșire atunci când măsurandul crește mai întâi pe un interval specificat și apoi revine la valoarea de pornire. Intervalul parcurs trebuie specificat, deoarece histerezisul depinde foarte mult de el.

3.1.3 Rezoluție

Rezoluția indică cea mai mică creștere detectabilă a cantității de intrare. Atunci când măsurandul variază continuu, ieșirea senzorului ar putea indica pași discontinui. Valoarea celei mai mici modificări detectabile corespunzătoare variabilei de intrare este rezoluția: Δx_min. Uneori, acest parametru se referă la valoarea maximă x_max care poate fi procesată (valoare FS), rezultând o rezoluție exprimată ca Δx_min/x_max sau x_max/Δx_min. Această utilizare mixtă a definițiilor pare confuză, deși este ușor de văzut de la unități sau de la valoarea în sine ce definiție este utilizată.

Exemplul 1

Rezoluția unui anumit tip de potențiometru liniar cu fir bobinat de 10 cm este specificată ca 10^-4; presupunând că aceasta este valoarea FS, înseamnă că ieșirea variază discontinuu în pași echivalenți deplasărilor de intrare de 10 μm.

Exemplul 2

Un tip particular de codificator optic are o rezoluție de 14 biți. Cea mai mică schimbare a unghiului care poate fi detectată de acest codor este 2π/2¹⁴ ≈ 3,8 × 10^-4 rad sau 0,022 grade.

3.1.4 Acuratețea

În mod formal, acuratețea reflectă apropierea acordului dintre rezultatul real al măsurării și o valoare reală a măsurandului. Specificația acurateței trebuie să includă condițiile relevante și alte cantități. Mulți producători de senzori specifică performanța senzorului în ceea ce privește acuratețea. Această specificație trebuie văzută cu suspiciune, deoarece poate sau nu să includă imperfecțiunile particulare ale senzorului (de exemplu, neliniaritatea, histerezisul și drift-ul) și poate fi valabilă numai în condiții stricte. Precizia nu este aceeași cu acuratețea. De fapt, termenul de precizie nu ar trebui folosit în nici un caz, pentru a evita confuzia.

3.1.5 Offset și zero drift

Majoritatea senzorilor sunt proiectați astfel încât ieșirea să fie zero la intrare zero. Dacă caracteristica de transfer nu intersectează originea (x,y = 0,0), se spune că sistemul are un offset. Decalajul (offset) este exprimat în termeni de cantitate de intrare sau de ieșire. Specificarea offset-ului de intrare este preferată, pentru a facilita o comparație cu valoarea măsurandului.

Exemplu

Sensibilitatea unui anumit tip de sistem de detectare a forței este de 0,1 V/N. La forța zero, ieșirea pare să fie de 3 mV. Decalajul (offset-ul de intrare) al acestui sistem este offset-ul de ieșire împărțit la sensibilitate, deci 0,03 N.

Un offset nenul apare în principal din toleranțele componentelor. Compensarea offset-ului poate fi efectuată în electronica interfeței sau în unitatea de procesare a semnalului. Odată ajustat la zero, offset-ul poate totuși să se modifice, datorită variațiilor de temperatură, modificărilor survenite în tensiunea de alimentare sau efectelor de îmbătrânire. Această schimbare relativ lentă în offset se numește zero drift (deviația de la zero). În particular, drift-ul indus de temperatură (coeficientul de temperatură sau t.c. al offset-ului) este un element important în lista de specificații.

Uneori, un sistem este proiectat în mod deliberat cu offset. Multe traductoare industriale au o ieșire de curent cuprinsă între 4 și 20 mA. Acest lucru facilitează detectarea fracturilor cablului sau a unui scurtcircuit, producând o ieșire zero clar, distinctă de o intrare zero.

3.1.6 Zgomotul

Zgomotul electric este o colecție de fluctuații spontane ale curenților și tensiunilor. Ele sunt prezente în orice sistem electronic, apar din mișcarea termică a electronilor și, de asemenea, din natura cuantizată a sarcinii electrice. Zgomotul electric este, de asemenea, specificat în termeni de cantitate de intrare, pentru a arăta efectul său în raport cu valoarea măsurandului. Zgomotul alb (zgomot cu putere constantă pe o gamă largă de frecvențe) este exprimat de obicei în termeni de putere de zgomot spectral (W/Hz), sau tensiune de zgomot spectral (V/√Hz) sau curent de zgomot spectral (A/√Hz). Zgomotul termic este un exemplu de "zgomot alb".

Un alt tip important de zgomot este zgomotul 1/f (zgomot unu-pe-f), o colecție de fenomene de zgomot cu o putere de zgomot spectral care este proporțională cu f^-n, cu n între 1 și 2.

Zgomotul de cuantizare este rezultatul cuantizării unui semnal analogic. Rotunjirea rezultă într-o deviere (continuă) de la semnalul original. Această eroare poate fi considerată ca un "semnal" cu media zero și o deviație standard determinată de rezoluția convertorului AD.

3.1.7 Timp de răspuns

Timpul de răspuns este asociat vitezei de schimbare a ieșirii pe o schimbare în trepte a măsurandului. Specificarea timpului de răspuns trebuie întotdeauna să fie însoțită de o indicație a pasului de intrare (de exemplu, scala maximă FS) și a intervalului de ieșire pentru care este definit timpul de răspuns, de exemplu 10% -90%. O prezență posibilă a deformării și a oscilațiilor poate face ca specificarea timpului de răspuns să nu aibă niciun sens sau cel puțin să inducă în eroare.

3.1.8 Răspunsul în frecvență și lățimea de bandă

Sensibilitatea unui sistem depinde de frecvența sau rata de schimbare a măsurandului. O măsură pentru intervalul de frecvență util este banda de frecvență. Limitele superioară și inferioară ale benzii de frecvență sunt definite ca acele frecvențe pentru care puterea de ieșire a scăzut la jumătate din valoarea nominală, la o putere de intrare constantă. Pentru cantitățile tensiune sau curent, criteriul este ½√2 din valoarea nominală (deoarece puterea este proporțională cu pătratul de tensiune sau curent). Limita inferioară a benzii de frecvență poate fi zero; limita superioară are întotdeauna o valoare finită. Mărimea benzii de frecvență se numește lățimea de bandă (bandwidth) a sistemului, exprimată în Hz.

3.1.9 Condiții de funcționare

Toate elementele de specificație se aplică numai în intervalul de funcționare al sistemului, care ar trebui să fie de asemenea specificat corect. Acesta este dat de domeniul de măsurare, tensiunea de alimentare cerută, condițiile de mediu și, eventual, alți parametri.

Exemplul 1

Caracteristicile de frecvență și comportamentul de zgomot al unui accelerometru sunt caracteristici importante. Tabelul 3.1 este un extras din fișele tehnice ale unui accelerometru industrial.

Tabelul 3.1 Specificații selectate ale unui accelerometru

Sursa : De la AlliedSignal Aerospace, accelerometru QA-2000. Unități în gravitație standard (g).

Exemplul 2

Mulți senzori de umiditate au un comportament neliniar. Tabelul 3.2 este un exemplu al specificațiilor unui senzor tipic de umiditate industrială; RH reprezintă umiditatea relativă.

Tabelul 3.2 Specificațiile selectate ale unui senzor de umiditate

Sursa: de la Amphenol Advanced Sensors, senzorul de umiditate EMD 4000B. Curbe de sensibilitate (impedanță vs. RH) pentru diferite temperaturi incluse în fișele de date.

În ciuda limitărilor specificate ale senzorilor, un sistem de detectare poate fi configurat astfel încât efectul unora dintre aceste limitări să fie eliminat sau cel puțin redus. Luăm în considerare diferite posibilități de proiectare de reducere a erorilor în următoarea secțiune.

3.2 Tehnici de reducere a erorii senzorului

Orice sistem senzor are imperfecțiuni, introducând erori de măsurare. Aceste erori provin fie din sistemul propriu-zis (de exemplu, zgomotul sistemului, cuantizarea și drift-ul), fie se datorează unor influențe de mediu cum ar fi interferențele termice, electromagnetice și mecanice. Producătorii de senzori încearcă să minimizeze astfel de erori intrinsece prin proiectarea corectă a aspectului și încapsulării senzorului; imperfecțiunile rămase ar trebui să figureze în fișele tehnice ale senzorului. Utilizatorul (de exemplu proiectantul mecatronic) ar trebui să reducă la minimum erorile suplimentare care ar putea apărea din cauza montajului necorespunzător și a interfeței electronice defectuoase. În această secțiune vom prezenta câteva concepte generale pentru a minimiza sau a reduce efectul erorilor intrinseci la aplicarea senzorilor.

De obicei, un senzor este conceput să fie sensibil la o singură cantitate specifică, reducând astfel sensibilitatea la toate celelalte cantități, în ciuda prezenței inevitabile a multor efecte fizice. Rezultatul este un senzor sensibil nu numai la cantitatea care trebuie măsurată, dar și într-o măsură mai mare sau mai mică față de alte cantități; acest lucru se numește sensibilitatea încrucișată (cross-sensitivity) a dispozitivului. Temperatura este temută cel mai mult, ilustrată prin afirmația că "fiecare senzor este un senzor de temperatură."

Pe lângă sensibilitățile încrucișate, senzorii pot suferi de multe alte imperfecțiuni. Acestea influențează transferul semnalului de măsurare și generează semnale de ieșire nedorite. Figura 3.1 prezintă un model simplificat al unui sistem de senzori, cu indicarea mai multor surse de eroare. În această figură, x_m este semnalul de măsurare și y_o semnalul de ieșire. Semnalele de eroare aditivă sunt modelate ca semnale suplimentare de intrare: x_d și x_s reprezintă semnale de eroare deterministe și stochastice. Ele modelează toate tipurile de interferențe din mediul înconjurător și semnalele de eroare echivalente datorate offset-ului de sistem și zgomotului. Intrările de eroare ε_d și ε_s reprezintă erori multiplicative: aceste semnale afectează sensibilitatea senzorului. Pentru acest model simplificat, semnalul de ieșire al unui senzor poate fi scris conform Ec. (3.1):

y_o = S(1 + ε_d + ε_s)(x_m + x_d + x_s) (3.1)

unde S este sensibilitatea nominală. Acest model va fi folosit pentru a evalua diferite metode de reducere a erorilor. Unele dintre aceste metode vor reduce în principal senzorii aditivi; altele minimizează erorile multiplicative. Îmbunătățirea performanței senzorului poate fi obținută prin utilizarea unei scheme sofisticate sau pur și simplu printr-o prelucrare suplimentară a semnalului. Discutăm despre cinci metode de bază de reducere a erorilor:

1. compensare

2. feedback

3. filtrare

4. modulare și

5. corecţie

Figura 3.1 Model de senzor simplificat, care include semnale de eroare.

Metodele se aplică nu numai senzorilor, ci și altor sisteme de manevrare a semnalelor, ca amplificatoare și sisteme de transmisie a semnalelor.

3.2.1 Compensarea

Compensarea este o metodă simplă și eficientă pentru a minimiza erorile aditive datorate semnalelor de interferență. Ideea de bază este ilustrată în figura 3.2. În figura 3.2A, ieșirea senzorului este y₁, care conține componente de semnal nedorite, de exemplu datorită interferențelor sau offset. Din această ieșire se scade o tensiune de compensare y_c. Condiția pentru compensarea completă este y_c = Sx_i, făcând y_o = Sx_m, independent de x_i. Pentru o compensare corectă, semnalul de interferență x_i, precum și transferul senzorului S trebuie să fie cunoscute. O modalitate de realizare a compensării este printr-un semnal de compensare reglabil: la intrare zero, y_c este ajustat (manual) la o valoare pentru care ieșirea este zero. O modalitate mai elegantă de a compensa este aplicarea unui al doilea senzor, așa cum este ilustrat în figura 3.2B.

Figura 3.2 Schema generală de compensare:
(A) semnal de compensare; (B) configurație echilibrată.

Semnalul de măsurare x_m este furnizat simultan ambilor senzori care au o sensibilitate egală, dar opusă la intrarea de măsurare (de exemplu, două mărci tensometrice: una încărcată pe deformație la compresiune și cealaltă pe deformație la întindere). Un semn minus reprezintă sensibilitatea opusă a senzorilor. Cele două semnale de ieșire sunt scăzute de un circuit electronic adecvat. Datorită structurii antisimetrice raportată numai la semnalul de măsurare, multe semnale de interferență apar ca semnale de ieșire comune și astfel sunt eliminate prin luarea diferenței dintre cele două ieșiri.

Eficacitatea metodei depinde de gradul de simetrie al senzorului dublu sau al structurii senzorului diferențial. Din figura 3.2 rezultă:

y₁ = S_m1x_m + S_i1x_i

y₂ = - S_m2x_m + S_i2x_i (3.2)

unde S_mk și S_ik (k = 1, 2) sunt sensibilitățile pentru semnalul de măsurare și respectiv pentru semnalul de interferență. Deci, semnalul de ieșire al sistemului senzor este egal

y₁ = (S_m1 + S_m2)x_m + (S_i1 - S_i2)x_i (3.3)

Sensibilitățile Sm1 și Sm2 sunt aproximativ egale: S_m1 ≈ S_m2 = S_m, astfel încât semnalul de ieșire devine

Analogic cu definiția raportului de rejecție pentru amplificatoarele diferențiale putem defini o măsură de calitate pentru dezechilibrul senzorului diferențial:

un parametru care caracterizează capacitatea sistemului de a distinge între măsurand și semnalele de interferență.

Metoda este ilustrată cu o punte de măsurare Wheatstone cu două elemente active ( figura 3.3 ).

Figura 3.3 Punte de măsură cu două elemente active R1 și R2.

În acest mod de semi-punte, R3 și R4 sunt rezistențe fixe iar R1 și R2 sunt senzori rezistivi. Valorile lor de rezistență se schimbă cu o anumită cantitate fizică, precum și cu un semnal de interferență, conform cu:

Aici Smk este sensibilitatea senzorului k (k = 1, 2) la măsurand (de exemplu, deformarea), iar Sik este sensibilitatea la semnalul de interferență (de exemplu temperatura). Rețineți că în acest sistem rezistența senzorului este doar R la o valoare inițială particulară a măsurandului și la interferență zero. Presupunând că ambele componente ale senzorului au același semnal de măsurare și au sensibilități egale, dar opuse față de măsurand, tensiunea de ieșire a punții satisface, aproximativ, ecuația:

Dacă ambele părți ale senzorilor au o sensibilitate egală la interferență (printr-o schemă de senzor simetric) și ambele componente ale senzorului experimentează interferența în mod egal, termenul de eroare din Ec. (3.7) este zero, iar interferența este complet eliminată. Ec. (3.7) este utilă pentru a face o evaluare rapidă a erorii datorată asimetriei, în raport cu semnalul de măsurare.

Exemplu

Rezistoarele R1 și R2 din fig. 3.3 sunt mărci tensometrice cu sensibilitate la deformație S_m = K (factorul de marcă) și t.c. α (K^-1). Semnalul de măsurare este deformația sau solicitarea relativă Δl/l; semnalul de interferență este o modificare a temperaturii Θ. Deci, transferul acestei punți este

unde ΔΘ este diferența de temperatură dintre cele două părți ale senzorului și Δα este diferența de sensibilitate la temperatură. Într-un proiect adecvat, ambele componente ale senzorului trebuie să aibă o temperatură egală și o sensibilitate egală la temperatură, pe întreaga gamă de operare.

3.2.2 Metode de feedback

Feedback-ul este o metodă de reducere a erorilor provenită de la amplificatoarele anterioare cu tuburi vidate. Funcționarea lor instabilă a fost o problemă reală până la aplicarea feedback-ului [6], care reduce în special erorile multiplicative. Figura 3.4A prezintă ideea generală. Senzorul are un transfer nominal S, dar datorită interferenței multiplicative s-a schimbat în S(1+ ε_i). Feedback-ul este realizat de un actuator cu efect de conversie invers și un transfer k. Din teoria controlului clasic, factorul de reducere a erorii poate fi găsit cu ușurință. Transferul sistemului total, S_f, este dat de

Figura 3.4 Sistem cu feedback: (A) configurația de bază;
(B) cu semnale de interferență aditivă.

O schimbare relativă dS în transferul senzorului S determină o schimbare relativă dSf în Sf conform cu:

Într-un proiect adecvat al sistemului cu feedback, kS >> 1. Deci, eroarea relativă în partea directă este redusă cu un factor egal cu câștigul de buclă S·k al sistemului. Pierderea pentru această îmbunătățire este o reducere a sensibilității globale cu același factor.

Feedback-ul (reacția) reduce, de asemenea, semnalele de interferență aditivă, într-o măsură care depinde de punctul de injecție din sistem. Două cazuri sunt discutate în figura 3.4B. Ieșirea datorată a două semnale de interferență x_i1 și x_i2 este egală cu:

Evident, semnalele care intră la intrarea sistemului sunt reduse prin feedback la fel de mult ca și semnalul de măsurare (deci SNR nu este mai bun). Semnalele interferente, injectate la ieșirea sistemului de detectare, sunt reduse cu un factor S mai mult decât semnalul de măsurare, astfel încât SNR este mărit cu aceeași valoare. (SNR = raport semnal-zgomot)

Feedback-ul reduce erorile din calea semnalului direct: transferul este determinat în principal de calea de feedback. Neliniaritatea în calea directă (de exemplu datorită unei caracteristici neliniare a senzorului) este, de asemenea, redusă, realizând un transfer liniar al elementului de feedback. Cerințele preliminare pentru o reducere eficientă a erorilor sunt următoarele:

• transferul mare al căii directe și

• transfer stabil al căii de feedback

Aplicarea acestei metode la senzori necesită un element de feedback cu un transfer care este inversul transferului senzorului. Imperfecțiunile senzorului sunt reduse; totuși, cerințele privind actuatorul sunt ridicate. Metoda este ilustrată cu exemplul unui sistem cu accelerometru capacitiv în care sunt combinate două metode de reducere a erorilor: compensare printr-o construcție de senzor echilibrat și feedback cu un traductor invers (fig.3.5 ).

Figura 3.5 Ilustrația unui sistem de feedback pentru reducerea erorilor senzorilor: accelerometru capacitiv.

O deplasare a masei seismice m are ca rezultat o diferență de capacitate ΔC; această valoare este convertită în tensiune, care este comparată cu o valoare de referință (aici această valoare este 0). Diferența de tensiune amplificată este furnizată unui actuator electromagnetic care acționează masa înapoi în poziția sa inițială. Când este proiectat corespunzător, sistemul atinge o stare de echilibru în care forța inerțială aplicată este compensată de forța electromagnetică de la actuator. Curentul necesar pentru menținerea echilibrului este o măsură pentru forța sau accelerația aplicată.

Un model mai detaliat al acestui sistem, de ex. pentru analiza stabilității, este prezentat în figura 3.6. Toate etapele de conversie sunt vizualizate în blocuri separate. Evident, feedback-ul este realizat în domeniul mecanic, contracarând forța inerțială F_i cu forța electromagnetică F_a a actuatorului.

Figura 3.6 Modelul accelerometrului capacitiv diferențial cu feedback.

Funcția de transfer a întregului sistem poate fi ușor derivată din acest model și este dată în Ec. (3.12) :

În această ecuație, Hi este transferul de la accelerația aplicată a la forța inerțială Fi. Hs este transferul arcului mecanic: de la forță la deplasare Δx. Transferul sistemului electric (senzor capacitiv, interfața electronică și amplificator, împreună) este He. În cele din urmă, Ha este transferul actuatorului. Pentru HaHsHe ≫ 1, funcția de transfer a sistemului total de senzor devine:

Într-adevăr, acest lucru este independent de rigiditatea arcului, transferul senzorului, interfața și câștigul amplificatorului, conform principiului de feedback. În echilibru, masa se află în poziția sa centrală. Prin urmare, nu trebuie făcute cerințe speciale asupra arcului, senzorului și circuitului de interfață; singura cerință este o eroare zero mică. De fapt, cerințele referitoare la calitatea senzorului au fost transferate la cele ale actuatorului. Transferul sistemului depinde doar de masa seismică m și de transferul actuatorului Ha.

Feedback-ul poate, de asemenea, îmbunătăți performanța dinamică a senzorului. Presupunem că senzorul din figura 3.6 este un sistem de arc-masă descris de caracteristica de transfer generală de ordin doi general (complex)

cu z frecvența de amortizare și ω₀ frecvența naturală sau frecvența de rezonanță a sistemului. Înlocuirea în Ec. (3.9) are ca rezultat transferul sistemului cu feedback:

cu un nou factor de amortizare

și o nouă frecvență naturală

Evident, frecvența de rezonanță este mărită cu un factor

și amortizarea este scăzută cu același factor: sistemul a devenit mai rapid prin feedback.

Principiul este aplicabil și altor măsuranzi, de exemplu presiune. Mulți senzori de presiune se bazează pe o membrană flexibilă care se deformează atunci când se aplică o diferență de presiune. De obicei, această deformare este măsurată de un anumit senzor de deplasare, furnizând semnalul de ieșire. Efectul răspunsului puternic neliniar al membranei poate fi eliminat prin feedback, folosind un actuator (liniar) în calea de feedback [7]. Există diverși senzori pe piață care se bazează pe principiul feedback-ului. Unele dintre ele vor fi discutate în capitolele ulterioare.

3.2.3 Filtrarea

Semnalele de eroare pot fi reduse sau evitate prin filtrare, care trebuie efectuate fie în domeniul semnalului de interferență (înainte de conversie), fie în domeniul electric (după conversie).

3.2.3.1 Filtrarea înainte de conversie

Semnalele nedorite pot fi ținute în afara sistemului senzor prin mai multe tehnici de filtrare, în funcție de tipul de semnal. Uneori tehnica este menționată ca ecranare. Revedem pe scurt câteva cauze și metodele asociate de reducere:

• Injectarea electrică a semnalelor false, printr-o conexiune capacitivă între sursa de tensiune de eroare și intrarea sistemului; pentru a fi evitată de un ecran împământat în jurul structurii senzorului și a conductorilor de intrare. Curentul indus capacitiv curge direct la masă și nu ajunge la intrarea senzorului.

• Semnale induse magnetic de un flux magnetic variabil în timp prin bucla realizată de circuitul de intrare; nu poate fi redus doar printr-un scut alcătuit dintr-un material cu o permeabilitate magnetică ridicată, ci și prin minimizarea ariei buclei (legături aproape una de cealaltă sau răsucite).

• Modificări ale temperaturii mediului; protecția termică (o încapsulare cu rezistență termică ridicată sau o carcasă controlată de temperatură) reduce efectele termice.

• Intrarea optică nedorită (din lămpi, soare) poate fi oprită de filtrele optice; multe tipuri de filtre sunt disponibile pe piață. Măsurandul și interferențele ar trebui să aibă o diferență substanțială în lungimea de undă.

• Perturbările mecanice (de ex., șocurile și vibrațiile) sunt reduse printr-o construcție mecanică adecvată, cu montare elastică și efectuând o amortizare adecvată a vibrațiilor.

3.2.3.2 Filtrarea după conversie

În cazul în care semnalele de interferență sunt de același tip (în același domeniu de semnal) ca și măsurandul în sine, reducerea erorii este realizată cu filtre bazate pe diferențe în proprietățile particulare ale semnalelor. Pentru semnalele electrice, proprietatea distinctivă este spectrul de frecvență. Semnalele electrice de interferență cu un spectru de frecvență diferit de cel al măsurandului pot fi ușor filtrate prin filtre electronice (Anexa C). Dacă au spectre de frecvență suprapuse, acest lucru nu este posibil sau doar parțial posibil. O soluție la această problemă este modularea (dacă este posibil) a semnalului de măsurare înainte de conversie, pentru a crea o diferență de frecvență suficient de mare, care să permită filtrarea eficientă în domeniul electric (vezi secțiunea 3.2.4 ).

3.2.4 Modularea

Modularea semnalului de măsurare este o modalitate foarte eficientă de a reduce efectul erorilor de offset și zgomot. Revedem pe scurt elementele de bază ale modulării și demodulării prin amplitudine și se arată că această combinație se comportă ca un proces de filtru band-pass (trece-bandă) îngust.

Modularea este un tip particular de conversie a semnalului care utilizează un semnal auxiliar, transportator. Unul dintre parametrii acestui semnal purtător variază în mod analog cu semnalul de intrare (sau de măsurare). Rezultatul este o deplasare completă a benzii de frecvență a semnalului într-o poziție în jurul frecvenței purtătoare. Datorită acestei proprietăți, modularea este menționată și ca o conversie de frecvență.

Un avantaj foarte important al semnalelor modulate este imunitatea mai bună la zgomot și interferențe. În sistemele de măsurare, modularea oferă posibilitatea de ocolire a offset-ului și a drift-ului de la amplificatoare. Modularea amplitudinii (AM) este o tehnică puternică în instrumentație pentru a suprima semnalele de interferență; prin urmare, ne limităm doar la modularea amplitudinii.

O expresie generală pentru un semnal AM cu o purtătoare sinusoidală

modulată de un semnal de intrare vi(t) este după cum urmează:

unde ω_c este frecvența purtătoare, iar k este un factor de scalare determinat de modulator. Să presupunem că semnalul de intrare este o undă pur sinusoidală:

Semnalul modulat este după cum urmează:

care arată că acest semnal modulat are trei componente de frecvență: una cu frecvența purtătoare (ωc), una cu o frecvență egală cu suma frecvenței purtătoare și frecvența de intrare (ωc + ωi) și una cu diferența între aceste două frecvențe (ωc - ωi). Figura 3.7A prezintă un exemplu de astfel de semnal AM. Semnalul de intrare este încă recunoscut în "anvelopa" semnalului modulat, deși componenta de frecvență a sa nu este prezentă.

Figura 3.7 Amplitudinea semnalului modulat: (A) semnalul în timp; (B) spectrul de frecvență al semnalului de intrare;
(C) spectrul de frecvență al semnalului AM.

Atunci când purtătoarea este modulată printr-un semnal de intrare arbitrar, fiecare componentă de frecvență din spectrul său (figura 3.7B) produce două componente noi, cu frecvențe sumă și diferență. Prin urmare, întreaga bandă de frecvență este deplasată într-o regiune în jurul frecvenței purtătoare (fig. 3.7C). Aceste benzi de pe ambele părți ale purtătoarei sunt numite benzi laterale ale semnalului modulat. Fiecare bandă laterală poartă întregul conținut informativ al semnalului de intrare. Semnalul AM nu mai conține componente cu frecvență joasă. Prin urmare, acesta poate fi amplificat fără a fi perturbat de offset și drift (care sunt semnale de joasă frecvență). Dacă astfel de frecvențe apar totuși în semnalul modulat amplificat, acestea pot fi ușor îndepărtate printr-un filtru high-pass (trece-sus).

Există multe căi de a modula amplitudinea unui semnal purtător. Discutăm trei metode: modulatorul multiplicator, modulatorul comutator și modulatorul punte.

3.2.4.1 Multiplicatorul ca modulator

Înmulțirea a două semnale sinusoidale vc și vi (purtătoare și intrare) are ca rezultat un semnal de ieșire:

cu K factorul de scalare al multiplicatorului. Acest semnal conține doar componentele de bandă din două părți și niciun purtător; se numește un semnal AM cu purtătoare suprimată. Pentru semnalele de intrare arbitrare, spectrul semnalului AM constă din două benzi laterale (identice) fără purtătoare. Figura 3.8A prezintă un exemplu de astfel de semnal AM. Rețineți că "anvelopa" nu mai este identică cu forma semnalului original.

Mai mult, semnalul AM arată o schimbare de fază la trecerile prin zero ale semnalului inițial de intrare (figura 3.8B).

Figura 3.8 (A) Semnal AM cu purtătoare suprimată și (B) schimbare de fază.

3.2.4.2 Modulatorul comutator

În modulatorul comutator, semnalul de măsurare este periodic comutat ON și OFF, un proces care poate fi descris prin multiplicarea semnalului de intrare cu un semnal de comutare s(t), fiind 1 când comutatorul este ON și 0 când este OFF (Fig 3.9).

Figura 3.9 (A) Comutator serie-șunt ca modulator;
(B) reprezentarea în timp a semnalului comutatorului.

Pentru a arăta că acest produs este într-adevăr un semnal modulat cu benzi laterale, extindem s(t) în seria sa Fourier:

cu ω = 2π/T și T perioada semnalului de comutare. Pentru un semnal sinusoidal de intrare cu frecvența ω_i, semnalul de ieșire conține sume și diferențe de ω_i și fiecare dintre componentele s(t).

Această metodă de modulare produce un număr mare de perechi de benzi laterale, poziționate în jurul multiplilor impari ai frecvenței purtătoare (ω_c, 3ω_c, 5ω_c, ...), așa cum se arată în figura 3.10.

Componenta de joasă-frecvență provine din multiplicarea cu media lui s(t) (aici ½). Această componentă de joasă-frecvență și toate componentele cu frecvențe de 3ω_c și mai înalte pot fi eliminate printr-un filtru. Semnalul rezultat este doar un semnal AM cu purtătoare suprimată.

Figura 3.10 Spectrul unui semnal AM de la un modulator comutator.

Avantajele modulatorului comutator sunt simplitatea și acuratețea acestuia: amplitudinea benzii laterale este determinată numai de calitatea comutatorului. Un modulator similar poate fi obținut prin schimbarea periodică a polarității semnalului de intrare. Aceasta este echivalentă cu multiplicarea printr-un semnal de comutare cu valoare medie zero; în acest caz nu există bandă de joasă frecvență ca în figura 3.10.

Absența componentelor DC (frecvența zero) și a frecvențelor joase facilitează amplificarea semnalelor modulate: offsetul, driftul și zgomotul de frecvență joasă pot fi ținute departe de noua bandă de frecvență a semnalului. Atunci când trebuie măsurate tensiuni foarte scăzute, se recomandă să le modulați înainte de orice altă procesare de semnal analogic, care ar putea introduce erori DC.

3.2.4.3 Puntea de măsurare ca modulator

Principiul modulatorului în punte este ilustrat cu puntea de măsurare cu rezistențe sau puntea Wheatstone din figura 3.11.

Figura 3.11 Puntea Wheatstone ca modulator.

Puntea este conectată la o sursă de semnal AC Vi. Acest semnal AC (de obicei o undă sinusoidală sau pătrată) acționează ca purtător. În acest exemplu, considerăm o punte cu o singură rezistență (R3) care este sensibilă la măsurand. Presupunând valori egale ale celorlalte trei rezistențe, semnalul Va este doar jumătatea purtătoarei, în timp ce Vb este un semnal AM: jumătate din purtătoare modulat prin R3. Ieșirea punții Vo este diferența dintre aceste două semnale, deci este un semnal AM cu purtătoare suprimată.

Această ieșire poate fi amplificată de un amplificator diferențial cu câștig ridicat; proprietățile sale de joasă frecvență sunt irelevante; singurele cerințe sunt o lățime de bandă suficient de ridicată și un înalt raport de rejecție a modului comun (CMRR) pentru frecvența purtătoare, pentru a amplifica cu acuratețe diferența Va - Vb.

Tehnicile de modulare se aplică și în cazul multor semnale neelectrice. Un semnal optic poate fi modulat utilizând un LED sau o diodă laser. Dacă sursa însăși nu poate fi modulată, modularea optică poate fi realizată, de exemplu, printr-o roată de tăiere, așa cum se aplică în multe sisteme de măsurare piroelectrică. De asemenea, unii senzori magnetici folosesc principiul de modulare. Cazurile speciale sunt discutate în capitolele ulterioare.

3.2.5 Demodularea

Procesul invers al modulării este demodularea (uneori numită detectare). Privind la semnalul AM cu purtătoare (de exemplu, în figura 3.7), observăm asemănarea dintre anvelopa amplitudinii și forma semnalului original. O metodă evidentă de demodulare ar fi, prin urmare, detectarea anvelopei sau detectarea vârfului. În mod evident, detectoarele de anvelope funcționează numai pentru semnale AM cu purtătoare. Într-un semnal AM fără purtătoare, anvelopa nu mai este o copie a intrării. Se pare că sunt necesare informații suplimentare cu privire la faza de intrare, pentru o recuperare completă a formei de undă originale.

O metodă excelentă pentru a rezolva această problemă și care are un număr de avantaje suplimentare este detecția sincronă. Această metodă constă în înmulțirea semnalului AM cu un semnal care are aceeași frecvență ca și purtătoarea. Dacă semnalul purtător este disponibil (cum este cazul în majoritatea sistemelor de măsurare), acest semnal sincron poate fi purtătorul în sine.

Să presupunem un semnal de intrare sinusoidal modulat cu purtătoare suprimată:

Acest semnal este înmulțit cu un semnal sincron cu o frecvență egală cu cea a purtătoarei inițiale și un unghi de fază φ. Rezultatul este următorul:

Cu un filtru trece-jos, componentele în jurul valorii de 2ω_c sunt îndepărtate, lăsând componenta originală cu frecvența ω_i. Această componentă are o valoare maximă pentru φ = 0, adică atunci când semnalul sincron are aceeași fază ca și purtătorul. Pentru φ = π/2 semnalul demodulat este zero și are semnul opus pentru φ = π. Această sensibilitate de fază este o proprietate esențială a detecției sincrone.

Figura 3.12 examinează întregul proces de măsurare în termenii spectrelor de frecvență. Punctul de pornire este un semnal de măsurare cu bandă îngustă de joasă frecvență (A). Acest semnal este modulat și amplificat ulterior. Spectrul semnalului rezultat este reprezentat în (B), prezentând spectrul AM al semnalului de măsurare și unele semnale suplimentare de eroare introduse de amplificator: offset (la DC), drift și zgomot 1/f (LF) și zgomotul termic de bandă largă.

Figura 3.12 Secvența modulației și detecției sincrone: spectrele semnalului original de măsurare (A);
a semnalului modulat (B); a semnalului demodulat (C).

Figura 3.12C prezintă spectrul semnalului demodulat. Prin înmulțirea cu semnalul sincron, toate componentele de frecvență sunt convertite într-o nouă poziție. Spectrul semnalului de măsurare amplificat se reîntoarce în poziția inițială, iar semnalele de eroare LF sunt convertite într-un interval de frecvență mai ridicat. Un filtru trece-jos (low-pass) elimină toate componentele cu frecvențe mai mari decât cele ale benzii originale.

Un avantaj important al acestei metode de detecție este eliminarea tuturor componentelor de eroare care nu sunt în banda (mică) a semnalului de măsurare modulat. Dacă semnalul de măsurare are o bandă îngustă (cantități de măsurare care fluctuează lent), poate fi aleasă o frecvență cut-off (de tăiere) joasă a filtrului. Prin urmare, majoritatea semnalele de eroare sunt îndepărtate și se obține o îmbunătățire remarcabilă a raportului S/N, chiar și cu un filtru simplu trece-jos de prim ordin.

Filtrul low-pass cu lățimea de bandă B, care acționează asupra semnalului demodulat, este echivalent cu un filtru trece-bandă care acționează asupra semnalului modulat (în jurul purtătoarei). Aceasta înseamnă că lățimea de bandă efectivă este de 2B. Selectivitatea unui filtru trece-bandă este exprimată cu factorul de calitate Q, definit ca raportul dintre frecvența centrală fc și lățimea de bandă B (la -3 dB). Deci, detectorul sincron poate fi conceput ca un filtru trece-bandă cu factor de calitate egal cu fc/B. Dacă, de exemplu, semnalul de măsurare are o lățime de bandă de 0,5 Hz, atunci frecvența cut-off a filtrului trece-jos este de asemenea setată la 0,5 Hz. Să presupunem că frecvența purtătoare este de 4 kHz, atunci factorul de calitate efectiv al detectorului sincron este de 4000. Filtrele active trece-bandă pot atinge factori Q de cel mult 100, astfel încât detecția sincronă oferă o selectivitate mult mai mare comparativ cu filtrarea activă.

3.2.6 Metode de corectare

Un semnal eronat al senzorului poate fi corectat dacă sunt disponibile cunoștințe despre cauzele erorilor sau valoarea erorilor. Două strategii diferite pot fi distinse:

• corecția statică și
• corecție dinamică

În prima clasă de strategii, se efectuează corecția în timp ce senzorul rămâne neschimbat. Figura 3.13 prezintă configurația generală pentru două abordări. În abordarea bazată pe model, semnalul senzorului este corectat pe baza cunoștințelor prealabile despre originea erorii, de exemplu, neliniaritatea sau o curbă de calibrare, stocată într-un tabel de căutare. Dacă erorile sunt necunoscute (interferențe), semnalul de eroare poate fi măsurat separat, de senzori suplimentari. Ieșirea acestor senzori este folosită pentru a corecta semnalul original al senzorului. Metoda este simplă, dar necesită senzori suplimentari, cel puțin unul pentru fiecare tip de interferență.

Figura 3.13 Corecție pe bază de model și corecție bazată pe măsurare.

Corecția dinamică implică o anumită schemă de senzor. Practic, metoda implică o serie de măsurători ale aceleiași cantități, astfel încât să elimine erorile prin postprocesare. Acest lucru se poate face în diferite moduri, în funcție de tipul de cantitate și de eroare:

• multiple măsurători ale semnalului de intrare, eliminând erorile de scală și de offset;

• interschimbarea ciclică a componentelor (potrivirea dinamică);

• modificarea ciclică a direcției de sensibilitate a senzorului (flipping-răsturnare).

Prima metodă este ilustrată în figura 3.14. Erorile aditive sunt reprezentate de semnalul x_off. Erorile multiplicative datorate semnalului de interferență x_s sunt reprezentate de eroarea relativă ε_s. Alternativ, intrarea sistemului este conectată la măsurand (obținând o ieșire y_o1), la "masă" (dând ieșirea y_o2) și la o referință (rezultând în ieșirea y_o3).

Figura 3.14 Măsurare în trei puncte pentru a elimina erorile scalare și de offset.

Cele trei ieșiri ale sistemului sunt următoarele:

Din aceste ecuații, măsurandul poate fi calculat după cum urmează:

Erorile de offset și de scalare sunt complet eliminate dacă erorile nu se schimbă în timpul succesiunii celor trei măsurători. Metoda necesită o referință a tipului de măsurand, precum și o posibilitate de a izola complet intrarea de măsurand pentru a găsi contribuția erorii de offset. Pentru majoritatea cantităților electrice, cum ar fi tensiune, capacitate și rezistență, aceasta este o sarcină destul de ușoară. Nu este cazul pentru multe alte mărimi fizice: scurtcircuitarea repetitivă a intrării unui senzor de câmp magnetic sau a unui senzor de forță. De exemplu, fără a elimina măsurandul el însuși necesită tehnici complicate și prin urmare nepractice de ecranare.

Toate sistemele senzoriale suferă de offset și drift, ceea ce împiedică măsurarea semnalelor mici, variabile lent. Modularea, după cum s-a discutat mai devreme, este o modalitate foarte eficientă de a elimina offset-ul. Cu toate acestea, modularea semnalului de intrare nu este întotdeauna posibilă. O modalitate alternativă de reducere a offset-ului este răsturnarea directivității senzorului, fără a schimba semnul și valoarea offset-ului. În mod evident, metoda poate fi aplicată numai senzorilor care sunt sensibili la direcția cantității de intrare (care ar trebui să fie un vector).

Răsturnarea este efectuată fie prin schimbarea semnalului purtător în modularea senzorilor, fie prin rotirea senzorului însuși. Un exemplu de senzor de modulare (Capitolul 2: Bazele senzorilor) este senzorul Hall pentru măsurarea intensității câmpului magnetic (Capitolul 6). Acesta este un senzor de tip modulator, deoarece ieșirea este proporțională atât cu semnalul de intrare, cât și cu semnalul auxiliar, în acest caz un curent de polarizare DC. Presupunând că offset-ul este independent de polarizare, reducerea offset-ului rezultă din Ec. (3.25), unde x_c este semnalul purtător care este rotit între două măsurători succesive.

Evident, diferența dintre cele două ieșiri este proporțională cu semnalul de intrare și offset-ul independent. Când senzorul nu este de tip modulator, același efect este obținut doar prin rotirea senzorului [8]. Dat fiind faptul că această mișcare mecanică necesită un mecanism de deplasare, metoda este limitată la aplicațiile cu frecvență redusă.

Toate metodele de reducere a erorilor discutate în această secțiune sunt ilustrate schematic în figura 3.15. În această schemă, fluxul semnalului de bază este afișat în culoarea închisă. Performanța unui senzor necompensat poate fi îmbunătățită prin adăugarea de sisteme de reducere a erorilor, de exemplu, filtre, modulatoare și circuite de corecție (halftone). La proiectarea unui sistem de senzori, merită luate în considerare alte tehnici, de exemplu includerea unui senzor de compensare într-o configurație echilibrată sau încorporarea unui modulator ori de câte ori este posibil (părțile albe în figura 3.15). În timpul procesului de proiectare al unui anumit sistem de detectare, se recomandă să se ia în considerare toate aceste posibilități, în legătură cu posibilele apariții de erori.

Figura 3.15 Prezentare generală a metodelor de reducere a erorilor

Referințe

1. Guide to the expression of uncertainty in measurement (GUM); International Organization for Standardization, Geneva, Switzerland, 1995; ISBN 92-67-10188-9.

2. ISO/IEC Guide 98-3:2008, a reissue of the 1995 version of the Guide to the expression of uncertainty in measurement (GUM).

3. ISA S37.1: Electrical transducer nomenclature and terminology, 1975; ISBN 0-87664-113-3.

4. Various documents of the ISA working groups, for instance: ISA-S37.2, Specification and tests for piezoelectric acceleration transducers. ISA-S37.3, Specification and tests for strain gage pressure transducers, 1982; ISBN 0-87664-378-0. ISA-S37.5, Specification and tests for strain gage linear acceleration transducers. ISA-S37.6, Specification and tests for potentiometric pressure transducers, 1982; ISBN 0-87664-380-2.ISA-S37.12, Specification and tests for strain gage force transducers. ISA-S37.10, Specification and tests for piezoelectric pressure transducers, 1982; ISBN 0-87664-382-9.ISA-S37.12, Specification and tests for potentiometric displacement transducers, 1977; ISBN 0-87664-359-4.

5. International Vocabulary of Metrology—Basic and general concepts and associated terms (VIM 3rd Edition); document produced by Working Group 2 of the Joint Committee for Guides in Metrology (JCGM/WG 2), JCGM 200: 2012.

6. Black HS. Stabilized feedback amplifiers. Bell Syst Tech J. 1934;13:1–18.

7. Dutoit BM, Besse P-A, Friedrich AP, Popovic RS. Demonstration of a new principle for an active electromagnetic pressure sensor. Sens Actuators. 2000;81:328–331.

8. van Putten MJAM, van Putten MHPM, van Putten AFP. Full additive drift elimination in vector sensors using the alternating direction method (ADM). Sens Actuators A. 1994;44:13–17.