A la recherche de la logique des topos (automne 2014)
Aucune connaissance mathématique préalable n'est requise pour ce cours destiné aux étudiants non-mathématiciens du Master d'histoire et philosophie des sciences de Paris 7.
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C’est le thème du topos qui est ce « lit » où
viennent s’épouser la géométrie et l’algèbre,
la topologie et l’arithmétique, la logique mathématique
et la théorie des catégories, le monde du continu
et celui des structures « discontinues » ou « discrètes ».
Il est ce que j’ai conçu de plus vaste, pour saisir avec finesse,
par un même langage riche en résonances géométriques,
une « essence » commune à des situations
des plus éloignées les unes des autres. »
A. Grothendieck, Récoltes et Semailles, p. 59.
Laurent Lafforgue rappelle la notion de topos classifiant
Voir l'exposé complet sur http://sites.google.com/site/logiquecategorique/Contenus/20130227_Lafforgue
Olivia Caramello parle de ses recherches fondées sur les topos de Grothendieck
... & les autres vidéos du site CLE sont également vivement recommandées !
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13 octobre 2014 : La partie, le tout, le un et le binaire dans le topos des ensembles
24 novembre 2014 : Catégories de foncteurs.
1er décembre 2014 Exemples de topos de Grothendieck
Vidéo réalisée par Céline Loozen
8 décembre 2014 : La vérité comme lieu : topos des préfaisceaux et topos des faisceaux associés à un espace topologique.
Ouverts d'un espace topologique
Catégorie des ouverts, catégorie opposée; foncteurs et foncteurs contravariants;
Topos des prefaisceaux et topos des faisceaux sur un espace topologique
(remarque: un faisceau associe nécessairement un singleton à l'ouvert vide; mention du recollement sans précisions) :
Exemples de (pré-)faisceaux
faisceaux des fonctions lisses comme sous-faisceau de celui des fonctions continues,
faisceau terminal,
sous-faisceaux du faisceau terminal,
ouverts comme valeurs de vérité.
Topos des ensembles = topos des faisceaux sur un point ("un seul point de vue").
Logique classique & algèbres de Boole versus logique intuitionniste & algèbres de Heyting