Cinquième cours : points génériques et ordre connectif (un exemple de notions hierarchiques)
Cours du 9 décembre 2013
Rappel : trois façons de décrire un espace connectif fini (exemple : l'espace borroméen)
En écrivant la liste des parties connexes (= parties connectées)
Par un dessin où sont entourés les ensembles de points constituant des parties connexes
Par entrelacs
Une quatrième façon : le graphe générique
Première idée de ce que sont les parties connexes irréductibles
A ce stade de l'exposé, la notion de partie connexe irréductible est mentionnée rapidement sans être formellement définie.
(C'est elle qui permettra de définir le graphe générique d'un espace connectif fini, puis l'ordre connectif d'un tel espace.)
Un exemple qui nous sera utile : le "borroméen de borroméen"
Annonce qu'il va être question des graphes génériques
Une remarque sur l'ordre d'exposition classique en mathématiques
Définition de la notion de partie connexe irréductible
cette définition fait appel à la notion de structure connective engendrée, qui sera vue plus tard
Illustration sur l'exemple d'un espace à trois points (non borroméen)
Première présentation de la notion de structure connective engendrée
En admettant que l'ensemble de toutes les structures connectives sur un ensemble constitue un treillis pour l'inclusion...
(treillis dont l'élément minimal est la structure discrète, et dont l'elément maximal est la structure grossière)
(remarque : plus une structure connective est fine, moins elle contient de connexes)
... il y a toujours une structure connective qui soit la moins fine de toutes celles qui sont plus fines qu'un ensemble de structures connectives données...
... autrement dit, il y a toujours un inf (une borne inférieure), exactement comme est toujours défini le pgcd de plusieurs entiers...
... du coup, tout ensemble de parties que l'on choisit dans l'ensemble des points est contenu dans une structure connective qui soit la plus fine possible...
... c'est la structure connective engendrée par les parties choisies...
Mais là, j'ai réussi à perdre mon auditoire...
Deuxième présentation de la notion de structure connective engendrée
On considère l'exemple de l'espace à trois points non borroméen considéré précédemment...
et on utilise notre connaissance de la liste de toutes les structures connectives (intègres) possibles pour un espace à trois points...
... pour montrer la réductibilité d'un certain connexe
... on montre ensuite l'irréductibilité d'une autre partie connexe, grâce à l'existence d'une structure connective qui peut être représentée ainsi :
b et c sont connectés, et a est connecté à {b,c}
(mais a n'est pas connecté à b seul, ni à c seul)
Remarque, en réponse à une question : une partie connexe irréductible n'est pas forcément "petite"
Quelques définitions (et propositions) précises (dont la définition, enfin, de la notion de structure connective engendrée)
Structure connective plus fine qu'une autre (sur un ensemble donné de points)
L'ensemble des structures connectives sur un ensemble donné est un treillis complet (les inf et les sup existent toujours)
La borne inférieure d'un ensemble de structures connectives sur un ensemble donné est l'intersection de ces structures
Définition de la structure connective engendrée par un ensemble de parties de E
Commentaire sur l'idée de structure engendrée vue "par au-dessus" (structure la plus fine telle que...) ou "par en-dessous" (de façon constructive)
Une difficulté pour comprendre les mathématiques : bien distinguer les niveaux.
Structure obtenue "par au-dessus"
Structures engendrée "par en-dessous"