Deuxième cours : 1 = 0 ?

Pour des références sur la théorie des catégories, voir cette page.

Cours du 18 novembre 2013

Avant d'aborder la question du jour (1=0 ?), nous poursuivons sur celle de la dernière fois : 1+1=2...

La notion de somme de deux objets dans une catégorie (suite du cours précédent)

Reprise de l'exemple préliminaire de l'union disjointe de deux singletons (1+1=2)

Définition de la somme de deux objets dans une catégorie

Exemple 1 : dans la catégorie des ensembles, la somme est bien l'union disjointe

Exemple 2 : cas des ensembles ordonnés.

Exercice : cas d'un ensemble totalement ordonné

Solution de l'exercice : (la somme est le max... ou plutôt le sup ⁽¹⁾)

Cas de l'ensemble des entiers (partiellement) ordonné par la divisibilité : pgcd.

Cas de la catégorie opposée à la précédente : ppcm.

Notion d'objet initial

Définition

Exemples

Dans la catégorie des ensembles

Exercice : l'injection canonique du vide dans un ensemble est bien une application.

Dans un ensemble ordonné

Notion d'objet terminal

Définition

Exemples

Remarques

Dans la catégorie des ensembles, "le zéro est unique, le un est multiple"

Tous les objets terminaux sont isomorphes

Isomorphismes

Produits

Exercice pour la prochaine fois : le produit dans la catégorie des ensembles est le produit cartésien

⁽¹⁾ Remarque : dans ce cours, je parle parfois de max et min de deux éléments dans un ensemble ordonné, mais dès que l'ensemble est partiellement ordonné, on devrait plutôt parler de sup et inf. J'y reviendrai la prochaine fois.