Capitolo 01

Riassunto Libro I

Ulisse, unico tra gli Achei a non essere tornato in patria dopo la guerra di Troia, è trattenuto per volere di Poseidone nell'isola Ogigia presso la ninfa Calipso. La Dea Atena, protettrice di Ulisse, si reca ad Itaca dove si sono insediati i Proci, un gruppo di pretendenti che da tempo aspirano alla mano della moglie di Ulisse, Penelope. Atena, travestita da Mente, induce Telemaco, figlio di Ulisse, a partire alla ricerca del padre.

Testo

Musa, quell’uom di multiforme ingegno

Dimmi, che molto errò, poich’ebbe a terra

Gittate d’Ilïòn le sacre torri;

Che città vide molte, e delle genti

L’indol conobbe; che sovr’esso il mare

Molti dentro del cor sofferse affanni,

Mentre a guardar la cara vita intende,

E i suoi compagni a ricondur: ma indarno

Ricondur desïava i suoi compagni,

Ché delle colpe lor tutti periro.

Stolti! che osaro vïolare i sacri

Al Sole Iperïon candidi buoi

Con empio dente, ed irritâro il nume,

Che del ritorno il dì lor non addusse.

Commento

Nell’incipit del poema si fa riferimento ai buoi di Iperione (figura 2), tema che verrà ripreso nel dodicesimo libro.

I compagni di Ulisse, in preda ai morsi della fame, decidono di rubare qualche capo di bestiame con la promessa di erigere a Iperione uno splendido tempio non appena ritornati a Itaca. Iperione, quando ha notizia del furto si rivolge a Zeus il quale, visto che la nave di Ulisse aveva ripreso il mare, scatena un'improvvisa tempesta che provoca la morte di tutti i compagni di Ulisse.

Figura 2. Iperione

In realtà il problema non è molto interessante per come viene presentato nel testo del libro XII:

Allora incontro ti verran le belle

Spiagge della Trinacria isola, dove

Pasce il gregge del Sol, pasce l’armento.

Sette branchi di buoi, d’agnelle tanti,

E di teste cinquanta i branchi tutti.

Il “problema” posto da Omero riguardava 7 mandrie di vacche e 7 greggi di pecore, con cinquanta bestie ciascuna. L’aritmetica proposta da Omero era banale e arrivava a un misero numero di 700 capi.

Molto più interessante è la versione attribuita ad Archimede. Gotthold Ephraim Lessing (1729-1881), principale esponente dell’illuminismo tedesco, scoprì nel 1773 in un manoscritto conservato nella biblioteca di Wolfenbuettel in Germania, il seguente testo del problema dei buoi del Sole che recava la seguente intestazione: “Problema che Archimede compose in epigramma ed inviò a coloro che si occupavano in Alessandria di cose di tal genere mediante lettera indirizzata ad Eratostene di Cirene”.

Amico, se partecipi della sapienza, calcola, usando diligenza, qual era il numero dei buoi del Sole che pascolavano nelle pianure della sicula Trinacria, divisi in quattro gruppi di colori diversi: l'uno bianco come il latte, il secondo di color nero lucente, il terzo fulvo e il quarto screziato. In ciascun gruppo c'erano tori in quantità, divisi secondo la seguente proporzione:

• 1. Tori bianchi = tori fulvi + (1/2 + 1/3) dei tori neri.

  2. Tori neri = tori fulvi + (1/4 + 1/5) dei tori screziati.

  3. Tori screziati = tori fulvi + (1/6 + 1/7) dei tori bianchi.

  4. Vacche bianche = (1/3 + 1/4) di tutti i bovini neri.

  5. Vacche nere = (1/4 + 1/5) di tutti i bovini screziati.

  6. Vacche screziate = (1/5 + 1/6) di tutti i bovini fulvi.

  7. Vacche fulve = (1/6 + 1/7) di tutti i bovini bianchi.

     1. Amico, se tu dirai veramente quanti erano i buoi del Sole, quale era il numero dei ben pasciuti tori e quante erano le vacche di ciascun colore, nessuno dirà che sei ignorante o inesperto sui numeri; tuttavia non sarai ancora annoverato tra i sapienti.

     2.  

     3. In realtà il quesito di Archimede non finiva qui, ma proseguiva con altre due richieste:

  8. Tori bianchi + tori neri = un numero quadrato.

Tori screziati + tori fulvi = un numero triangolare.

Archimede ha ideato il suo problema su due livelli. Nel primo livello si hanno due ripartizioni: a) quella dei tori tra di loro, secondo il loro colore; b) quella delle vacche con riferimento all’insieme dei bovini. Il secondo livello fa riferimento soltanto ai tori, stabilendo che la somma di quelli bianchi e quelli neri forma un numero quadrato (cioè un quadrato perfetto), mentre la somma di quelli screziati e di quelli fulvi corrisponde invece a un numero triangolare pitagorico.

La soluzione generale è stata trovata nel 1880 da A. Amthor. Egli dimostrò che era circa 7,76 *10206.544 bovini.

In questa sede ci limiteremo a determinare la soluzione minima della prima parte del problema.

Data la complessità del calcolo occorre per prima cosa impostare il problema e poi risolverlo utilizzando un software in grado di elaborare i dati, in questo caso Derive.

Formulazione del problema

Posto a=Tori bianchi, b=Tori neri, c= Tori screziati, d=Vacche bianche, e=Vacche nere, f=Vacche screziate, g=Vacche fulve si ottiene un sistema di equazioni:

Soluzione del problema

Il sistema presenta infinite soluzioni:

Per determinare soluzioni intere occorre assegnare un valore ad h, se si pone tale valore a 5.439.213 (minimo comune multiplo dei denominatori) si ottiene la soluzione:

a = 10.366.482; b = 7.460.514; c = 7.358.060; d = 4.149.387; e = 7.206.360; f = 4.893.246; g = 3.515.820.

Sommando questi valori si raggiunge il totale di 50.389.082 bovini. Indubitabilmente una grossa mandria!

Naturalmente questo è il valore minimo, se si prende ad esempio come valore di h 274.076.949.872.466 si ottengono i seguenti risultati:

a = 522.357.511.549.524; b = 375.928.451.708.148; c = 370.765.888.700.920; d = 209.083.801.792.734; e = 363.121.864.961.520; f = 246.566.173.940.172; g = 177.158.942.277.240

Sommando questi valori la mandria aumenta a 2.264.982.634.930.258 capi, una cifra da capogiro.

Per ottenere queste soluzioni si può ricorrere anche a Geogebra in modalità CAS (figura 3). Impostato il sistema si determina il MCM dei denominatori.

Figura 3. Soluzione con Geogebra