Raiz quadrada de 2

Conforme conta a história, raiz quadrada de dois foi o primeiro número reconhecido como irracional. Essa descoberta é atribuída a Hipaso de Metaponto, filósofo pré-socrático da escola de Pitágoras, e contrariou as ideias predominantes entre os pitagóricos de que todos os números eram inteiros.

Considere um quadrado cujo lado mede 1. Vamos calcular a medida d de sua diagonal?

Como poderemos fazer isso?

No triângulo ABC, vamos usar o Teorema de Pitágoras:

(hipotenusa)² = (cateto a)² + (cateto b)²

Assim, d² = 1² + 1².

d² = 2

Qual o valor de d sabendo que seu quadrado é 2?

Vamos calcular por aproximação:

Sabendo que 1² = 1 e que 2² = 4, concluímos que o valor de d está entre 1 e 2.

Vamos determinar a primeira casa decimal de d?

Calculando:

(1,1)² = 1,21 (1,2)² = 1,44 (1,3)² = 1,69 (1,4)² = 1,96 (1,5)² = 2,25

Assim, d está entre 1,4 e 1,5.

Então, o valor aproximado de d com uma casa decimal é 1,4.

Continuando, qual a segunda casa decimal de d?

(1,41)² = 1,9881 (1,42)² = 2,0164

Portanto, d está entre 1,41 e 1,42. Seu valor aproximado com duas casas decimais é 1,41.

Seguindo este procedimento, vamos percebendo que o valor aproximado de d com três casas decimais é 1,414.

(1,414)² = 1,999396 (1,145)² = 2,002225

Repetindo, conseguiremos obter quantas casas decimais quisermos, porém o valor será sempre aproximado, um pouquinho menor que 2.

Para isso, os matemáticos utilizam a raiz de 2 para determinar o valor exato da diagonal do quadrado de lado 1.

Esse número possui infinitas casas decimais que não se repetem. Portanto, é um número irracional.

Outros exemplos de raízes que são números irracionais:

  • As raízes quadradas dos números naturais que são quadrados perfeitos (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64...) são números naturais.

  • As raízes quadradas dos números naturais que não são quadrados perfeitos são números irracionais.

    • Todo número com p primo é irracional.

Fonte: http://matematica.com.br/site/artigos-matematicos/154-raiz-quadrada-de-dois-e-irracional.html

História da Raiz Quadrada de Dois e do Surgimento dos Números Irracionais:

Os matemáticos da Grécia Antiga conheciam apenas os números inteiros e as frações. Após o surgimento do Teorema de Pitágoras (a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa), os pitagóricos tentaram calcular a diagonal de um quadrado de lado 1. Porém, não encontravam um valor inteiro nem que pudesse ser representado por meio de uma fração (racional). Essa descoberta foi perturbadora para os matemáticos da época, pois contrariava os pensamentos disseminados por eles e instituía algo novo. Com medo, esconderam essa informação, até que Hipaso de Metaponto a divulgou. Conta a lenda que isso lhe custou a vida.

Com a impossibilidade de escrever esses números de forma inteira ou racional, surgiram novos números: os irracionais. Essa descoberta foi um marco muito importante para o pensamento humano e para a história da matemática. A diagonal deste quadrado é conhecida hoje por

e pode ser calculada pelo Teorema de Pitágoras: d² = 1² + 1² = 2,

portanto d =

Atividades:

1) Veja como as aparências enganam:

O número abaixo é um número inteiro positivo.

Que número é esse?

2) Classifique em V (verdadeiro) ou F (falso):

RESPOSTAS:

1. Número 3

2. a) V. b) F. c) V. d) V. e) F. f) V.