e (Número de Euler)
É um número irracional muito utilizado em funções logarítmicas como a base do logaritmo natural, e em funções exponenciais.
Desafio:
Considerando a expressão dada por
Substitua os valores de n e com a ajuda de uma calculadora encontre as aproximações com cinco casas decimais.
Assim, podemos perceber que alguns algarismos estão se repetindo.
O número de Euler é pouco comentado na Educação Básica, sendo na grande maioria das vezes apenas colocado ou exposto aos alunos de forma bem resumida e sem contextualização.
Pela demonstração do desafio, foi realizado o processo de aproximação desse número repetindo as casas decimais, aproximando-se cada vez mais do número e.
História do Número e
Os fenômenos de crescimento, relativos a pessoas, animais, plantas, dinheiro e outros, estão quase sempre associados ao número irracional e. No século XVII, muitos matemáticos investiram suas pesquisas nos logaritmos, que permitem que a multiplicação de números muito grandes seja convertida em adição. O número de Euler destacou-se mais ainda com o estudo dos juros compostos, com Jacob Bernoulli em 1683.
Por exemplo, depositando R$ 1,00, com rendimento de 100% ao ano. (100% de R$ 1,00= R$ 1,00).
Após um ano, teremos R$ 2,00.
E se o depósito rende 50% por semestre? Ao fim de um ano (2 semestres) teremos R $ 2,25. Por quê?
R$ 1,00 + 50% = R$ 1,50 (final do 1º semestre)
R$ 1,50 + 50% = R$ 2,25 (final do 2º semestre / fim de um ano)
E se o depósito rende 25% por trimestre? Ao fim de um ano (4 trimestres) teremos, aproximadamente, R$ 2,44.
R$ 1,00 + 25% = R$ 1,25 (final do 1º trimestre)
R$ 1,25 + 25% = R$ 1,5625 (final do 2º trimestre)
R$ 1,5625 + 25% = R$ 1,953125 (final do 3º trimestre)
R$ 1,953125 = 25% = R$ 2,44140625 (final do 4º trimestre)
E se o depósito rende 1/12 por mês (aproximadamente 8%)? Ao fim de um ano teremos, aproximadamente, R$ 2,61304.
E se continuarmos estreitando o período dos juros, em cada semana, cada dia, cada minuto...
Quanto mais estreito for o período em que os juros são compostos, mais o total obtido ao fim do ano se aproxima do valor de e.
A demonstração de que e é um número irracional (não é uma fracção) foi feita por Leonhard Euler em 1737.
O matemático francês Joseph Liouville mostrou, mais tarde, que e não é solução de nenhuma equação quadrática.
Em 1873, Hermite provou que e é um número transcendente (não é raiz de nenhuma equação polinomial a coeficientes racionais, não é algébrico).
Logaritmo Natural
É representado por ln(x) e tem como base o número de Euler (e).
Gráfico da função:
Exemplo:
Qual o valor de ln(1)?
Então, o logaritmo natural do número 1 é igual a zero. Podemos visualizar isso no gráfico da função acima: no ponto em que x é igual a 1, a função é igual a zero.
Logaritmo Neperiano
Também é representado por ln(x), mas com base:
Assim:
Gráfico:
Exemplo:
Qual o valor de ln(e)?
Da mesma forma, podemos verificar no gráfico que: no ponto em que x = e, a função é -1 ("corta" o eixo dos y em -1).
CURIOSIDADES:
* O link http://www.youtube.com/watch?v=8fR5iOFtY2c apresenta relações entre logaritmos e a música!
É um trecho do vídeo "Música das Esferas", disponível no site do MEC.
* O texto do link http://www.cdb.br/prof/arquivos/76295_20080603084510.pdf também é bem interessante, pela contextualização que faz com os logaritmos aplicados na história e no estudo de terremotos, assunto conhecido pelos alunos por meio do noticiário nos meios de comunicação.
* Você sabia que os logaritmos auxiliam na fiscalização da Receita Federal? Então veja o texto deste link: http://vestibular.uol.com.br/ultnot/resumos/ult2774u21.jhtm.
* As primeiras 200 casas decimais do número de Euler:
e = 2,718281828459045235360287471352662497757247093699959574966967627724076630
35354759457138217852516642742746639193200305992181741359662904357290033429526
059563073813232862794349076323382988075319525101901...