Phi - Número de ouro
" A média áurea é algo absurdo,
Não é um irracional comum.
Se você inverte (isso é divertido!),
Você obtém de novo, reduzida de um,
Mas se pela unidade for somado,
Acredite, isso dá o seu quadrado".
Paul S. Bruckman, de Concord, Califórnia, publicou em 1977, no periódico The Fibonacci Quaterly, um divertido poema chamado "Constantemente Médio". Referindo-se à Razão Áurea com a "Razão Média", a primeira estrofe desse poema é esta acima. Gostou?
Você sabe que phi = 1,6180339...?
Este poema explica que ao calcular o inverso de phi (1 / phi = 0,6180339...), encontra-se "phi menos um" (phi - 1 = 0,6180339...); e que ao somar "phi mais um" (phi + 1 = 2,6180339...), o resultado é mesmo que o quadrado de phi (phi² = 2,6180339...).
Faça o teste com sua calculadora!!
Você ficou curioso(a)?
Então conheça mais neste vídeo sobre phi, esse fascinante número irracional!
Disponível em: http://www.youtube.com/watch?v=SUSyRUkFKHY
O vídeo acima é uma aula de matemática com o Pato Donald. Sua explicação é bem diferente do que se está acostumado em sala de aula (relação professor-aluno). É também uma forma de visualizar onde a razão áurea pode ser encontrada no cotidiano, pois o vídeo é bem ilustrativo. Estabelece relações dos segmentos presentes no pentagrama e em retângulos com a razão áurea e o número de ouro.
Neste vídeo vimos principalmente onde o número phi pode ser encontrado.
Vamos ver sua definição?
E você sabe qual a história da razão áurea?
A razão áurea é uma constante real algébrica irracional representada pela letra
(phi), em homenagem ao escultor Phideas, que a teria utilizado para conceber o Parthenon. Este valor é arredondado em até três casas decimais, portanto
=1,618. Outros nomes com os quais a razão áurea também é conhecida: seção áurea, razão de ouro, divina proporção, divina seção proporção em extrema razão, divisão de extrema razão ou áurea excelência.
Esta razão é vista ao definir esta proporção matemática de um segmento maior em relação a um segmento menor. Além de estar presente na representação de figuras geométricas, é encontrada também no ser humano, na natureza, na arte, em arquitetura e em diferentes situações do cotidiano. É considerada algo divino pelo fato da matemática estar presente não só em cálculos numéricos, mas por ser percebida na perfeição da natureza, como em flores, conchas, colméias, e também no próprio ser humano, onde a razão do número phi pode ser identificada.
A razão áurea é o número que descreve a razão exata em que um segmento é dividido em duas partes, de maneira que a proporção entre o segmento inteiro e a parte maior é igual à proporção entre a parte maior e a parte menor. Assim, conforme a imagem abaixo, quando a razão entre ‘b + a’ e ‘b’ é igual à razão entre ‘b’ e ‘a’:
Este segmento dividido em duas partes pela razão áurea é chamado segmento áureo, e a razão pode ser calculada como
É o número irracional que inicia com as casas decimais: 1,61803398874989484820...
A história da razão áurea é antiga. Segundo Bellos (2011, p. 304), “os gregos eram fascinados por phi e o descobriram na estrela de cinco pontas, ou pentagrama, o reverenciado símbolo da Fraternidade Pitagórica. Euclides chamou-o de “razão extrema e média” e ofereceu um método para construí-lo com compasso e esquadro”. Livio (2007, p. 96) também fala do aparecimento da razão áurea em livros da coleção Elementos, do matemático grego Euclides, que a define e utiliza nas construções do pentágono, icosaedro e dodecaedro.
O número phi intriga artistas e matemáticos desde o Renascimento. Em 1509, a obra A divina proporção, de Luca Pacioli, trazia uma lista de suas aparições em muitas construções geométricas. “Pacioli concluiu que a razão era uma mensagem de Deus, fonte de conhecimento secreto sobre a beleza íntima das coisas.” (BELLOS, 2011, p. 305).
Fechner é autor do livro Vorschule der Aesthetik (Introdução à estética), publicado em 1876. Em 1860, realizou experiências com retângulos para serem analisados esteticamente como o mais e o menos agradável. Eram colocados dez retângulos na frente dos indivíduos, que “deveriam escolher cuidadosamente o retângulo mais agradável, harmônico e elegante” (LIVIO, 2007, p. 204). Os retângulos estavam dentro de um intervalo de 1,00 a 2,50 em relação à razão entre altura e largura. Seis deles eram parecido com quadrados e três eram mais largos que o Retângulo Áureo. Os resultados foram que 76% dos indivíduos escolheram três retângulos de razões 1,75, 1,62, 1,50 e os outros tiveram menos de 10%. O retângulo que tinha a razão 1,62 era bem perto de um Retângulo Áureo e estes resultados chegaram muito próximos a ele, sendo considerados então, esteticamente, os três mais agradáveis.
Também segundo Fechner, “(...) os formatos das janelas de casas camponesas parecem quase sempre quadrados, o que é coerente com o fato de que pessoas com um menor nível de educação tem maior preferência por esta forma do que as pessoas com uma educação mais elevada” (LIVIO, p. 205). Essa análise de phi no cotidiano envolve também aspectos sociológicos, pois considera as diferenças entre as classes sociais em relação à educação recebida pelas pessoas. Fechner afirmou ainda que, nas cruzes dos túmulos, a razão entre o poste e a peça transversa era áurea.
A partir do Renascimento, houve uma importante mudança na direção da história da razão áurea, pois este conceito não ficou restrito somente à matemática, sendo usado também nas explicações dos fenômenos naturais e nas artes. (LIVIO, p. 183). A razão áurea tem relação também com a sequência de Fibonacci. A espiral logarítmica (imagem abaixo) pode ser visualizada na natureza em conchas do mar, galáxias, girassóis e furacões, entre outros. O comportamento da evolução da espiral logarítmica obedece a uma escala constante, aumentando o tamanho sem alterar o formato e estabelecendo uma propriedade de característica autossimilar.
O matemático Cliford A. Pickover chamou o ponto de intersecção entre as duas diagonais dos retângulos de “O Olho de Deus” (LIVIO, 2007, p.104) devido a Razão Áurea ter uma série de fatores relacionado à divindade. Segundo ele, “o Retângulo Áureo é o único retângulo com a propriedade de que, ao se cortar um quadrado, forma-se outro retângulo similar” (LIVIO, 2007, p. 103).
Espiral logarítmica construída no software Geogebra.
Abaixo apresentamos dois arquivos:
Sugestão de atividades onde os alunos podem construir segmentos, retângulos e pentágonos, observando o número de ouro. Apresentamos uma proposta para desenvolver um estudo sobre este número especial, aproveitando também o uso das tecnologias como importante ferramenta para o desenvolvimento do conhecimento.
Uma curiosidade sobre phi, envolvendo a caligrafia. Você já parou para prestar atenção às letras que você escreve?