常微分方程式

担当: 平地 健吾  hirachi@ms.u-tokyo.ac.jp,  UTOLのページ

●4/9 オンライン講義1

・感染症の微分方程式(SIRモデル)の話をしました。ノートをUTOLで共有しました。

●講義2

・自然法則の微分方程式としての表現の例（自由落下、人口、Logistic方程式、空気抵抗のある落下、バネによる質点の運動）

・原点中心の円の微分方程式、半径 r の円の微分方程式

・偏微分方程式の例：熱方程式と波動方程式

・昨日YouTubeで配信された

予備校のノリで学ぶ「大学の数学・物理」微分方程式(1) 

は30分でLogistic方程式まで説明しています。今日の講義はこれを見れば十分かも。

●講義3

・先週紹介した微分方程式の解法（変数分離形）

・常微分方程式の一般形

・正規形の常微分方程式の局所解の存在定理（連続性だけを仮定した場合：証明はしない）

●講義4

・正規形の常微分方程式の解のリプシッツ条件の下での存在と一意性（１未知関数の１階方程式の場合）

・逐次近似による解の構成方法と一意性の証明（逐次近似の説明まで）

・リプシッツ条件下での解の存在と一意性（連立１階方程式の場合）

●講義5

・高階の常微分方程式を一階の連立方程式に変換する方法

・高階の常微分方程式の解の存在と一意性

・初等的解法：変数分離形と同次形

・１階線形常微分方程式の解法（定数変化法）

●講義6

・完全微分方程式の導入

・関数の外微分と１形式

・１形式が完全であるための必要条件

・１形式の線積分；完全形式の閉曲線での積分は０

・平面上では閉形式は完全であることの証明

・穴があいている領域では閉形式は完全とは限らない

・星形領域では閉形式は完全であることの略証

●講義7

・積分因子の定義

・積分因子の定義と計算例

・リプシッツ条件下での大域的な解の一意性の証明

・一意性をもちいて変数分離型の常微分方程式の解法を見直す

●講義8

・２階の定数係数常微分方程式の解法

・２階の定数係数常微分方程式の解法の続き：基本解が解空間の基底であることの証明

・複素変数の指数関数の導入

・線形代数を用いた２階の定数係数常微分方程式の解法（微分作用素の固有値）

●講義9

・解の無限大での挙動

・２階の定数係数常微分方程式の解法の続き：非斉次項をもつ場合

・Wronskianの満たす微分方程式

・特別な形の非斉次項をもつ場合の解法

・強制振動の方程式の解の挙動（共鳴）

●講義10

・高階の定数係数常微分方程式の特性方程式

・高階の定数係数常微分方程式の解法（斉次方程式の基本解の求め方）

・ロンスキアンの例

・高階の定数係数常微分方程式のロンスキアン

・変数係数の常微分方程式の解法（定理を述べただけ、証明は来週）

●講義11

・変数係数の常微分方程式の解法（逐次近似で解が大域的に存在することを示す）

・非斉次方程式の場合も定数変化法で解ける

・定数係数の一階線形方程式系の解は行列の指数関数を用いて表示できる

●講義12

・行列の指数関数の計算方法

・定数係数線形方程式系の解の無限遠での挙動と固有値の関係