CRITICITA'
A) Forza di attrazione gravitazionale e forza centrifuga
Un problema che abbiamo riscontrato nella valutazione dell’attrazione
gravitazionale tra il Sole e l’ellissoide stesso sta nel fatto che, considerato che il Sole
si troverebbe esattamente al centro della struttura e in corrispondenza del suo centro
di massa e che quindi la loro distanza varrebbe 0 m, per la legge di attrazione
gravitazionale di NewtonF dovremmo effettuare una divisione per
g = G ·
mSole·mellissoide
d
Sole−ellissoide
2
0, cosa in questo caso non possibile. Matematicamente parlando, potremmo
affermare che il risultato tenda all’infinito positivo ( . Ne è
x 0
+
lim
→
f(x) =+ ∞
dimostrazione il grafico della funzione disegnato con la calcolatrice grafica inserito
poco sotto. Abbiamo utilizzato come dati masse piuttosto piccole, relativamente ai
pianeti del Sistema Solare, per evitare un sovraccarico degli strumenti di calcolo),
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ma fisicamente non potremmo dire lo stesso, in quanto non ci troviamo al cospetto di
una singolarità. Le strade possibili sono due:
1) Consideriamo l’ellissoide come un corpo unitario, di conseguenza otteniamo
che il Sole si trova esattamente nel punto che corrisponde al suo centro di
massa e dato che non ci troviamo di fronte ad una singolarità possiamo
affermare che si tratta di un sistema all’equilibrio.
2) Consideriamo l’ellissoide come l’insieme di tante piccole parti (lastre di
metallo aventi una certa superficie in m ciascuna) che sono attratte - in 2
quanto, singolarmente, avrebbero una massa decisamente inferiore a quella
del Sole - dal Sole, ciascuna con una forza inversamente proporzionale alla
propria distanza distanza da esso (ne consegue che quelle dei “poli” Nord e
Sud dell’ellissoide, ovvero i punti che intersecano l’asse di rotazione solare,
sono attratti maggiormente rispetto a quelli più distanti)
La seconda considerazione implica dunque che la struttura tenderebbe a collassare
a causa della forza di gravità. Come evitare ciò? Abbiamo immaginato due strategie
possibili. La prima, sta nel valutare un valore di pressione del gas sufficiente per
generare una forza su ciascuna delle lastre metalliche uguale e contraria a quella
generata dall’attrazione gravitazionale del Sole. Questo potrebbe portare tuttavia a
problemi nell’ascolto del concerto, per le ragioni spiegate nella SEZIONE 3. La
seconda soluzione rende le cose leggermente più complicate: per esercitare una
forza che abbia modulo uguale e verso opposto a quella di attrazione gravitazionale
potremmo anche mettere in rotazione l’intera struttura, o in altre parole, inserire in
orbita solare ogni singola parte della struttura (il che significherebbe,
complessivamente, mettere in rotazione la struttura). Vi sarebbe dunque una forza
centrifuga rivolta in direzione opposta a quella centripeta (rappresentata dalla forza
di attrazione gravitazionale del Sole) che potrebbe garantire la stabilità della
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struttura. L’unica criticità di questa soluzione sta nel fatto che l’ellissoide, non
essendo un solido di rotazione, rischierebbe di scontrarsi con Plutone. L’unico modo
per risolvere questo problema sarebbe, considerato il fatto che Plutone compie una
rivoluzione intorno al Sole ogni 248 anni terrestri (quindi ha una bassa velocità
orbitale), pressurizzare la struttura ed eseguire il concerto con un largo anticipo
prima che Plutone arrivi all’afelio, in modo da non rischiare di farlo scontrare con le
pareti dell’ellissoide una volta messo in rotazione. Chiaramente, terminato il
concerto, occorrerebbe riportare l’ellissoide nella posizione iniziale, altrimenti si
rischierebbe, appunto, la collisione.
B) Sopravvivenza
I musicisti e gli ascoltatori potrebbero avere qualche difficoltà nel respirare
un’atmosfera costituita da solo idrogeno o da solo elio, anche se dovessero farlo per
solo pochi minuti: nessuno dei due gas è tossico per l’uomo, ma provocano asfissia
rapidamente in caso di carenza di ossigeno (nel nostro caso stiamo parlando di
idrogeno puro). Dunque occorrerebbero bombole cariche di miscele di gas respirabili
(come quelle utilizzate dai subacquei, che vengono riempite di Nitrox, una miscela di
azoto e ossigeno, Trinix, composto da azoto, ossigeno ed elio o ancora Eliox, una
miscela di elio e ossigeno) innanzitutto per gli operai, ma anche per i musicisti e gli
spettatori. Se fornissimo anche una sola bombola di gas ad ogni operaio (poi ne
servirebbero anche per i musicisti, che non vorremmo far suonare in apnea, e per gli
spettatori) bisognerebbe procurarsi 3, 887180925 · 10 bombole di gas.
35
Considerato che una bombola avente un volume di 5 L riempita di gas respirabile
con pressione 150 bar ha un’autonomia di circa 75 minuti con un consumo di 10
L/min e dato che agli operai non bastano 75 minuti per costruire una tale
megagalattica struttura, bisognerebbe procurarsi questo numero di bombole:
n
operai
: t
autonomia 1 bombola = n
tot, bombole
: t
costruzione ellissoide
n
tot, bombole =
(n
operai
·t
costruzione ellissoide)
t
autonomia 1 bombola
=
(3,887180925·10
35
·3,1536·10
9
)
4500 = 2, 72414 · 10
41
bombole
per un totale di
V di gas necessari,
gas = n
tot, bombole
· C
capacità 1 bombola = 2, 72414 · 10
44
L
oltre a quelli necessari per riempire la struttura. Il volume occupato da tutte queste
bombole di ossigeno sarebbe pari a
V ,
tot, bombole, m
3 = V
1 bombola, m
3 · n
bombole =
5
1000
· 2, 72414 · 10
41 = 1, 36207 · 10
39
m
3
pari a volte il volume del Sole.
V
tot, bombole, m
3
V
Sole
=
1,36207·10
39
1,4122·10
27 = 9, 65 · 10
11
32
Di certo bisognerebbe costruire un magazzino per contenerle, comprimere il gas
ancora di più per ridurne il volume, oppure semplicemente accatastarle fuori
dall’ellissoide per introdurle poco alla volta al suo interno man mano che si
esauriscono.
Oltre al problema respirazione ci sarebbe quello delle radiazioni a cui
musicisti e operai sarebbero esposti: specialmente per coloro che si trovassero nelle
vicinanze del Sole, la quantità di queste sarebbe molto elevata e pericolosa.
L’irraggiamento (per unità di tempo, ovvero al secondo) ricevuto da Mercurio vale
9083 , circa 7 volte maggiore rispetto a quello ricevuto sulla Terra all’esterno W
m
2
dell’atmosfera.
I musicisti al centro del Sistema solare riceverebbero una quantità ancora
superiore di radiazioni e sarebbero in serio pericolo nel caso di tempeste solari e
brillamenti, quindi occorrerebbe valutare con attenzione il momento adatto per
l’esecuzione del concerto, in accordo con le previsioni di osservatori dell’attività
solare come il Solar Dynamics Observatory della Nasa, in modo da evitare di
abbrustolire oltre il dovuto i musicisti.
I valori dell’irraggiamento solare varierebbero tenendo conto della presenza di
gas tra il Sole e i vari osservatori, ma certamente nelle zone più vicine al Sole
sarebbero piuttosto elevati. Al massimo l’uomo in età adulta può ricevere senza
riportare danni 20 mSv di radiazioni in un anno. In caso di valori più elevati
occorrerebbero tute spaziali (che lascino le orecchie all’esterno, per poter ascoltare
l’incantevole musica di Holst) protettive fatte di materiali che riescano a schermare le
radiazioni ricevute dal Sole. Il rischio di raggi gamma provenienti dal cosmo sarebbe
inferiore in quanto l’idrogeno o l’elio dell’atmosfera sarebbero in grado di schermarne
una buona parte (infatti la loro densità, come evidenziato nella SEZIONE 3 è pari a
0,46 e 0,23 volte quella dell’atmosfera terrestre al livello del mare, quindi fornirebbe
una buona protezione. L’elio riduce il livello di radiazioni ricevuto dai soggetti esposti
ancor più dell’idrogeno).
I progettisti delle tute di protezione dalle radiazioni provenienti dal Sole, dotate di
bombole per la respirazione, dovrebbero tener conto anche delle elevate
temperature a cui gli individui - musicisti in particolare - sarebbero sottoposti e
utilizzare materiali isolanti oltre a sistemi di raffreddamento.
C) Problemi alla caldaia
Tuttavia c’è un problema: prima che gli infaticabili operai si mettessero a
costruire l’ellissoide il calore si trasmetteva per irraggiamento e una buona parte di
esso andava disperso nello spazio profondo, ora il calore emesso dal Sole rimane
intrappolato all’interno della struttura. Infatti, trattandosi di un sistema chiuso che non
scambia materia né energia con l’esterno, la temperatura del gas all’interno della
struttura tenderebbe ad aumentare senza sosta. Questo fatto potrebbe essere
innanzitutto fastidioso per chi patisce particolarmente il caldo, ma andrebbe a
modificare gradualmente la velocità di propagazione del suono, che aumenterebbe
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di pari passo alla temperatura, diminuirebbe la densità e farebbe aumentare la
pressione sempre più (effetto simile ad una pentola a pressione). Oltre un certo
limite (sebbene occorra, considerate le dimensioni della struttura, un tempo piuttosto
lungo) la struttura rischierebbe di esplodere. Soluzioni possibili potrebbero essere
valvole poste sulla superficie della struttura per espellere una parte di gas, che
andrebbe poi reintegrata con del gas con temperatura più bassa, oppure sistemi di
raffreddamento comprendenti radiatori che permettano la dispersione di parte del
calore all’esterno della struttura (simili a quelli utilizzati per satelliti e navicelle
spaziali che necessitano, in situazioni particolari, di mantenere bassa la propria
temperatura, chiamati ACTS, o Active Thermal Control System).
D) Zone calde e zone fredde
La temperatura da noi stabilita per il gas da inserire all’interno della struttura
(87,15 K) subirebbe delle variazioni al suo interno proprio a causa dell’attività del
Sole. Le zone più vicine ad esso verrebbero riscaldate e tenderebbero ad essere più
calde rispetto a quelle più lontane. Ciò influenzerebbe anche la densità del gas,
inferiore vicino al Sole e superiore man mano che ci allontaniamo e la velocità di
propagazione del suono (nelle zone di Mercurio e Venere il suono si propagherebbe
più rapidamente, mentre andando verso Giove, Saturno e i pianeti più esterni la più
bassa temperatura del gas provocherebbe un rallentamento delle onde sonore). Il
calore emesso dal Sole all’interno della mega struttura si propagherebbe per
convezione: il Sole infatti trasmetterebbe calore (ed energia cinetica) alle particelle di
gas adiacenti provocando lo spostamento, con la generazione di moti convettivi. Non
si tratterebbe di irraggiamento in quanto tra i corpi all’interno del Sistema Solare non
ci sarebbe più il vuoto ma un gas, e non si potrebbe parlare di conduzione in quanto
le particelle dei gas sono libere di muoversi e trasmettere energia e calore a quelle
che incontrano.
E) Plutone in rotta di collisione.
In base ai calcoli presenti nelle sezioni 4 e 5 (relative al tempo di ascolto e di
collisione dei pianeti col Sole), è possibile dedurre che gli ascoltatori in orbita intorno
al pianeta nano si andranno a scontrare col Sole ben prima che il suono del concerto
arrivi a toccare l’attuale orbita dello stesso, ciò però non significa che non si potrà
ascoltare il concerto dal pianeta: è evidente che andando in due direzioni contrarie,
le onde sonore e Plutone e viaggiando, le prime, in tutte le direzioni, in un qualche
punto dello spazio il nostro pianeta vagabondo intercetterà il suono del concerto. Il
problema che ci si manifesta è quindi il tempo: abbiamo bisogno di riempire la
Megastruttura con il gas e suonare il concerto nell’arco di un anno (tempo per
collidere con il Sole usando l’idrogeno).
Consideriamo che una bombola con la capacità di 100 kg di gas è in grado di
erogarne circa 2 kg/h. Le quantità di gas delle quali dobbiamo tener conto sono
quelle calcolate nella sezione 3, quindi:
Elio = 4, 9237 · 10
29 Kg
34
Idrogeno = 2, 479 · 10
29 Kg
Ipotizziamo di voler fare le cose con calma invece di arrivare lunghi con i tempi e
quindi di voler completare l’opera di pressurizzazione in 6 mesi (4380 h). Dovremo
quindi erogare:
Elio = 4, 9237 · 10
29 Kg/4380h
≈ 1, 124 · 10
26 Kg/h
Idrogeno = 2, 479 · 10
29 Kg/4380h
≈ 5, 660 · 10
25 Kg/h
Dividendo poi per la capacità di erogazione delle bombole ricaviamo essere
necessarie:
Elio =
1,124 ·10
26 Kg/h
2 Kg/h ≈ 5, 62 · 10
25
bombole
Idrogeno =
5,660 ·10
25 Kg/h
2 Kg/h ≈ 2, 83 · 10
25
bombole
F) Tutti uniti per Plutone.
Come spiegato precedentemente, riempire il Sistema Solare di gas
provocherebbe il rallentamento del moto dei pianeti a causa dell’attrito, e nel caso
del povero Plutone lo porterebbe in un tempo piuttosto breve a cadere sul Sole.
Sicuramente alla fine del concerto tutti gli spettatori saranno rimasti soddisfatti,
ammaliati dalla melodiosa musica di Holst, ma siamo sicuri che nessuno di questi
vorrebbe dire definitivamente addio a Plutone, già vittima di discriminazioni da
quando è stato definito “pianeta nano” nel 2006. Dunque abbiamo immaginato un
modo per evitare che il povero pianeta debba terminare la sua esistenza
scontrandosi con il Sole: abbiamo pensato di contrastare la forza di attrito esercitata
dall’aria sul pianeta installando sulla superficie di Plutone dei motori a razzo orientati
in modo da esercitare, una volta accesi, una forza di verso contrario a quella di
attrito.
La forza di attrito esercitata su Plutone vale
F = m
Plutone
· a = 1, 293 · 10
22
· 0, 0001414438145 = 1, 83 · 10
18 N
Il motore a razzo più potente costruito nella storia dell’umanità è il celebre F-1 della
Pratt & Whitney Rocketdyne, progettato da Wernher von Braun e utilizzato nel
Saturn V, l’imponente razzo multistadio che ha permesso all’uomo nel 1969 di
raggiungere la Luna. Un singolo motore F-1 è in grado (nel vuoto) di generare una
forza di 7.700.000 N. Dunque, per mantenere in orbita Plutone occorrerebbe
accendere un numero pari a
n F-1 motori =
F
attrito
F
1 motore
=
1,83·10
18
7,7·10
6 = 2, 38 · 10
11 motori
per circa due anni (il tempo necessario per
pressurizzare la struttura, eseguire il concerto, ed
35
eventualmente depressurizzarla). I motori dovrebbero essere orientati in modo da
esercitare (come spiegato sopra) una forza di verso opposto a quella di attrito. Per
fare ciò, considerato che Plutone compie un’intera rotazione su sé stesso in circa
154 ore, si dovrebbero spostare periodicamente i motori per correggerne
l’orientamento oppure, triplicandone il numero, ridurre il tempo di accensione ad un
terzo (riducendo ad un terzo, di conseguenza, anche l’angolo massimo di
inclinazione del motore rispetto alla direzione della forza di attrito, che passerebbe
quindi da 90° a 30° e riducendo notevolmente l’errore di inclinazione rispetto
al vettore della forza d’attrito). Quindi il numero di motori sarebbe il triplo di quello
indicato precedentemente, ovvero 7, 14 · 10 . Un motore F-1 consuma al secondo 11
1565 litri di ossigeno liquido e 976 litri di RP-1 (o più semplicemente cherosene),
quindi per mantenere i motori accesi per due anni occorrerebbero
V
ossigeno liquido, 2 anni = V
carburante, 1 s
· t
secondi = 1565 · 63072000 = 9, 9 · 10
10
L
di ossigeno liquido e
V
RP−1, 2 anni = V
carburante, 1 s
· t
secondi = 976 · 63072000 = 6, 2 · 10
10
L
di RP-1.