Dimensioni della struttura
A) Forma.
Il De-sideribus dovrebbe avere una forma che gli permetta di contenere l’intero sistema solare fino, almeno a Plutone. Ad una prima analisi si potrebbe pensare che sia la forma della sfera quella adatta, ma si deve tener conto della forte eccentricità dell’orbita di Plutone e della sua inclinazione rispetto al piano del Sole. Per evitare l’ipotetico spreco di materiali causato da inutili spazi vuoti la forma più adatta risulta essere quella dell'ellissoide:
B) Dimensioni.
L'ellissoide, come sviluppo tridimensionale di due ellissi che si incontrano perpendicolarmente, è caratterizzato da tre semiassi: rx, ry, rz. Per conoscere le dimensioni della megastruttura è necessario trovare quelle dei semiassi. Per quelli complanari al piano del Sole scegliamo di utilizzare i due semiassi della fascia di Kuiper, la fascia di asteroidi esterna, oltre all’orbita di Plutone, questo perché, ipotizzando di costruire una struttura che li escluda esisterebbe il rischio che i corpi presenti nella fascia si vadano a scontrare con la superficie dell’ellissoide.
Per una questione puramente concettuale, tutti i valori che andiamo a trovare sono approssimati per eccesso, immaginando di lasciare uno spazio vuoto di margine tra l'estremità della struttura e il punto di riferimento scelto:
1ua150.000.000 di km, distanza Terra-Sole
Fascia di kuiper semiasse maggiore = 55 ua —> rx > 55 ua
Semiasse minore kuiper = 39,5 ua —> ry > 39,5 ua
Per quanto riguarda il semiasse rz, è necessario affrontare il problema dell’inclinazione dell’orbita di Plutone rispetto al Sole:
Come si può vedere dall’immagine riportata qui sopra, Plutone è il pianeta che più di tutti si scosta dalla realtà complanare del sistema solare;
la sua orbita ha un’inclinazione di circa 17,13°.
Per fare in modo di calcolare correttamente la lunghezza che dovrebbe avere rz (ed evitare che il nostro pianeta nano preferito si vada a schiantare contro una mega struttura poco credibile), rappresentiamo il problema sugli assi cartesiani:
Grazie alle definizioni di seno e coseno, e conoscendo sia l’angolo a (che è l’inclinazione dell’orbita di Plutone) e la distanza o-d (afelio di Plutone), siamo in grado di trovare le lunghezze dei segmenti d-b e o-b
o-d = 49,31 UA
a= 17,13826°
d-b = o-d x sin(a)= 49,31 x sin(17,13826°) = 14,68 ua
o-b = o-d x cos(a)=49,31 x cos(17,13826°) = 47,60 ua
Aggiungendo la lunghezza di rx, e ricavando da questi valori le coordinate di un punto qualunque dell'ellisse con semiassi rx e rz, tramite la definizione stessa di ellisse e la sua equazione, è possibile ricavare il valore di rz:
o-c= rx= 56 ua
d= (47,60;14,68)
x2/rx2 + y2/rz2 = 1 —> 47,60²/56² + 14,68²/rz²=1 —>rz= 27,86728 ua
I tre semiassi, in definitiva, hanno valori:
rx > 55 ua = 56 ua
ry >39,5 ua = 40 ua
rz > 27,86728 ua = 28 ua
Calcoliamo anche volume e area superficiale:
Volume ellissoide= 4/3π X x X y X z= 262.720,92164 ua³
Area superficiale = 13.990,87803 ua²
Dove a=rx, b=ry, c=rz, p=1,6, dato come costante da usare nel calcolo dell’area superficiale degli ellissoidi
Per dare un’idea delle dimensioni che avrebbe la nostra struttura rispetto al sistema solare, aggiungiamo il link per la pagina geogebra nella quale abbiamo rappresentato in scala le tre ellissi maggiori dell'ellissoide, le orbite dei pianeti e di plutone, e le dimensioni del Sole (tutte le orbite sono state appiattite sul piano del Sole, tranne quella di Plutone): https://www.geogebra.org/classic/cwpqzfx6