6.3 描述统计

第9组：

绝对数 (Absolute number）

• 定义：直接反映现象规模或总量的原始数值，通常为计数或总和。(指直接计算得到的实际数值，用于表示总体或样本中某个类别的具体数量)

• 需要知道具体数量时,比如统计库存数量、计算总销售额。

• 例如，一个班级中有30名学生，其中男生18人，女生12人，18和12就是绝对数。

绝对数（Absolute Number）的使用条件

• 适用情况

  • • 适用于描述数据的总量或个体数量，不涉及比较或比例关系。

• 适用于统计某一群体中某个类别的实际数量，如：

  • • 某班级的男生人数（18人）

    • 一年内销售的商品数量（200件）

    • 某地区的出生人数（5000人）

• 使用条件

✅ 数据类型： 适用于计数数据（Count Data），如频数（Frequency）。适用于可以直接数出来的东西，比如班级里有多少男生、今天学校卖出了多少份午餐、操场上有多少辆自行车等。这些数据是具体的、可以数清楚的。

✅ 样本规模： 适用于数据量较小时，直接使用绝对数能清晰呈现信息。 如果数据量不是特别大，比如一个班级有 40 个学生，我们可以直接说：“班上有 18 个男生，22 个女生。” 这样讲很清楚。

✅ 数据独立性： 适用于单独考察某一类数据，而不涉及不同类别之间的比较。适用于单独统计某一个类别，比如“这个篮球队有 12 个人”或者“今天有 25 人迟到”。这里不需要和其他类别比较，比如不需要说“迟到的男生比女生多”或者“这个班的男生比例是多少”，只是单纯地统计一个数字。

• 局限性

⚠ 难以比较不同群体的数据：例如，两个班级的学生数量不同，仅比较“男生人数”可能会导致误解。

⚠ 不能直接衡量相对关系：如，一个企业招聘了 50 人，但不知道这是总申请人数的多少比例，无法得出结论。

相对数 （Relative number）

• 定义：通过绝对数之间的对比生成的衍生指标，用于揭示比例、比率或变化关系。

• 相对数通常以比例（proportion）、百分比（percentage）或比率（ratio）的形式呈现，它反映了某一类别相对于整体的关系。

• 需要比较不同规模、不同单位的数据时。

• 相对数= ───比较数值（比数）/基础数值（基数） 

📌 相对数就是用两个相关的数据进行比较，来说明它们之间的关系。

例子：

• 比率（Ratio）：两个数的直接对比。

→ 男生和女生的比例是 2:1（比如班级有20个男生，10个女生）。

• 比例（Proportion）：部分占整体的百分比。

→ 全班50人，女生占 40%（20人）；男生占60%（30人）

• 百分比变化（Percentage）：增长或下降的速度。

→ 考试成绩提升：去年你的语文考试考了80分，今年考了90分。

→ 相对数 = 90 ÷ 80 = 1.125（表示今年的成绩是去年的1.125倍，提升了12.5%）。

相对数（Relative Number）的使用条件

• 适用情况

  • • 适用于比较数据之间的相对关系，如：

    • 比例（Proportion）： 班级中男生占全班的 60%。

    • 百分比（Percentage）： 40% 的顾客选择了某品牌产品。

    • 比率（Ratio）： 每 1000 人中有 20 人使用某项服务。

  • 使用条件

✅ 数据类型： 适用于分类数据（Categorical Data） 或连续数据的比例转换。适用于可以分成不同类别的数据，比如“男生和女生”“喜欢篮球、足球、羽毛球的人数”或者“不同颜色的汽车数量”。有时候，我们还可以把一些连续的数据转换成比例，比如“考试分数超过 80 分的人占全班的多少？”

✅ 比较需求： 适用于不同类别或群体之间的比较，如不同年份的增长率、男女生比例等。适用于比较不同的群体或时间变化，比如“今年和去年学校的学生人数增长了多少？”或者“班上男生和女生的人数比例是多少？” 这样可以帮助我们更好地看出变化或差异。

✅ 数据规模影响： 适用于大规模数据分析，能消除样本大小不同的影响。适用于数据量很大时，因为如果直接比较人数，可能会不太公平。例如，A 校有 3000 名学生，B 校有 500 名学生，A 校有 600 人参加某项活动，而 B 校有 200 人参加。虽然 A 校人数多，但如果用比例来看：A 校的参与率是 600/3000=20%，B 校是 200/500=40%，会发现 B 校的参与度更高。

• 局限性

⚠ 可能丢失实际数量信息：例如，某公司 2023 年销售增长率 50%，但如果基数很小（比如 10 件增长到 15 件），增长率虽高，但实际影响有限。

⚠ 需要基准参考：相对数通常需要对比基准，如“去年相比增长 20%”或“在 1000 人中有 30 人”。

第10组：

平均数（Mean）

• 在一组数据中所有数的（sum of the terms）和除以这组数据的个数（number of the terms）所得的商（除）。 

• 反映一组数据集中趋势的统计量。 

使用平均数的条件：

1. 数据类型：必须是数值型数据

✅ 平均数适用于数值型（定量）数据，如考试分数、身高、体重、收入等。
❌ 不能用于类别数据（定性数据），如性别（男/女）、颜色（红/蓝/绿）、喜欢或不喜欢等。

2. 数据分布：适用于对称分布的数据

✅ 当数据呈对称分布（如正态分布）时，平均数是一个合适的代表值。

• 示例 1（适用）： 如果大多数学生的考试分数在 75-85 之间，平均数可以很好地代表整体水平。

❌ 如果数据偏斜或包含极端值，平均数可能会失真。

• 示例 2（不适用）： 如果有一个学生考了 100 分，而另一个考了 10 分，平均数可能无法准确反映数据的真实情况。

3. 测量尺度：至少是区间尺度或比率尺度

✅ 平均数适用于区间尺度（Interval Scale）和比率尺度（Ratio Scale）。

• 区间尺度：如温度（摄氏度、华氏度）。

• 比率尺度：如身高、体重、收入、考试分数。

❌ 平均数不适用于顺序数据（Ordinal Data）。

• 示例（不适用）： 进行问卷调查时，选项为“非常满意（5）、满意（4）、一般（3）、不满意（2）、非常不满意（1）”，计算平均数可能没有实际意义。

4. 样本数量：样本量越大，平均数越稳定

✅ 当样本量较大时，平均数更可靠，能够减少随机误差的影响。
❌ 如果样本量太小（如 n < 10），少数几个值可能会极大地影响平均数，使其失真。

标准差（Standard Deviation）

• 总体（population），又称为全体或者整体，是指由多个具有某种共同性质的事物的集合。

• 样本（sample），是指全体中随机抽取的个体。通过对样本的调查，可以大概的了解总体的情况。从总体抽样的时候，需要抽取一定数量的样本，如果样本太少，则不足以反映总体的情况。

• 表示数据点相对于均值（平均数）的分布情况。

• 标准差越大，表明数据的波动越大，分布越分散；标准差越小，表明数据的波动越小，分布越集中。

• 对于多组数据，在同质、同单位、均数相等或近似相等的情况下，可以比较多组数据的离散程度（三个条件缺一不可）

1. 总体的标准差（population standard deviation）

• 总体数据计算得到的标准差，反映了总体数据的真实离散程度。

• 在实际应用中，往往很难获取整个总体的数据，因此总体标准差通常只在理论研究中使用。

2. 样本的标准差（sample standard deviation）

• 对样本数据计算得到的标准差。

• 由于样本只是总体的一部分，因此样本标准差是对总体标准差的估计。

• 在计算样本标准差时，为了使估计更加准确，分母通常使用 n - 1 而不是 n。