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Weierstrass é responsável (entre outras coisas) por duas descobertas fundamentais para a compreensão das funções de variável real:
1ª - Existem funções contínuas em todos os pontos que não têm derivada em qualquer ponto;
2ª - Dada uma função contínua em um intervalo fechado, podemos aproximá-la, naquele intervalo, por polinômios, ou seja,
Teorema de Weierstrass: Se f:[a,b]->R é contínua e e>0, então existe polinômio p tal que
Teorema de Weierstrass: Se f:[a,b]->R é contínua e e>0, então existe polinômio p tal que
|p(x)-f(x)|<e para todo x em [a,b].
|p(x)-f(x)|<e para todo x em [a,b].
(apresentação e demonstração do Teorema)
Uma excelente referência é o artigo de Allan Pinkus, Weierstrass and Approximation Theory (ver o pdf aqui). Nas páginas 27-30 está a demonstração de Lebesgue, que usa apenas a continuidade uniforme das funções contínuas em intervalos fechados e um truque simples, que acaba reduzindo tudo a provar que a série de Taylor da função raiz quadrada de 1-x é uniformemente convergente para x em [-1,1]. Esta última passagem se faz usando a fórmula de Stirling.
Um segundo método, bastante eficaz, de se aproximar uma função f por uma sequência (fn) de funções infinitamente diferenciáveis é a aproximação por média móvel: substitui-se, para cada x, o valor de f(x) pela média ponderada dos valores de f nos pontos próximos a x. A ideia é, para cada natural n, usar, na ponderação, apenas os pontos que distam de x menos do que 1/n. A escolha da função peso que vai ser usada para a ponderação é o segredo para que a função obtida, fn, não apenas esteja próxima de f nos pontos em que esta é contínua (para n grande), mas seja também (a fn), infinitamente diferenciável.
Uma das consequências mais rentáveis da possibilidade de se aproximar uma função contínua por funções que têm derivadas acontece na Topologia. Muitos resultados referentes a funções contínuas podem ser demonstrados primeiro para funções deriváveis (com derivadas contínuas, ou mesmo com derivadas de ordem superior) . Em seguida, por meio do Teorema de Aproximação, a demonstração pode ser estendida para as funções contínuas gerais (um bom exemplo é o Teorema de Ponto Fixo de Brouwer).
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