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Vamos, depois de alguma discussão, adotar a construção dos números reais de Eudoxo-Dedekind, que está no capítulo 28 do Spivak (aqui a versão do próprio Dedekind). Você não precisa fazer todos os detalhes da construção agora, pode deixar para um momento de lazer. Mas é a partir das propriedades dos reais que enunciamos na aula 31 (uma variante das que estão no texto do Spivak) que sairemos demonstrando uns tantos resultados importantes sobre os reais, limites, continuidade. Tente organizar as ideias na sua cabeça e entenda bem o significado da propriedade do supremo. Leia o Courant-John (as primeiras 15 páginas como aquecimento e, mais à frente, páginas 89-101).
Dos Naturais aos Reais. Construção dos números reais. Há várias formas, consagradas, de "construir" os reais. Escolhemos a de Eudoxo-Dedekind, que é mais concreta, geométrica, "simples". A ordem e a Propriedade do Supremo seguem imediatamente da definição. O conceito de limite pode ser rigorosamente definido antes mesmo das definições das operações: a Topologia precede a Álgebra.
Teorema: Se a sequência (an), de números reais, é crescente e limitada superiormente, então existe um número real, a, tal que an->a.
Comentários sobre as sucessivas generalizações dos números, que passam, em cada caso, por criar uma representação concreta dos novos números. Teoremas de continuidade.
Teorema do Valor Intermediário: Se f:[a,b]->IR é contínua, com f(a)<c<f(b), então existe x em ]a,b[ tal que f(x)=c.
Teorema do Máximo: Se f:[a,b]->IR é contínua, então existe xem [a,b] tal que f(x) é maior ou igual a f(y) para todo y em [a,b].
Teorema da Continuidade Uniforme: Se f:[a,b]->IR é contínua, então f é uniformemente contínua:
para todo e>0 existe d>0 tal que
|x-y|<d=>|f(x)-f(y)|<e.
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