Desigualdade Triangular - é a desigualdade básica, que expressa a convicção de que o menor caminho entre dois pontos é em linha reta, ou que qualquer lado de um triângulo tem comprimento menor do que a soma dos comprimentos dos outros dois (podendo haver igualdade em casos degenerados).

Desigualdade do Valor Médio, ou Teorema dos Acréscimos Finitos - é intrínseca à ideia de derivada como velocidade; expressa a certeza de que quem anda mais rápido e em linha reta sempre chega mais longe do que quem vai mais devagar e, eventualmente, ziguezagueia.

Desigualdade de Jensen - menos banal, generaliza para médias (inclusive de infinitos valores) o fato de que o gráfico de uma função convexa está sempre abaixo do segmento que liga quaisquer dois de seus pontos: se f é convexa, E[X] é a média dos pontos de X e E[f(X)] é a média dos valores de f nos pontos de X, então f(E[X]) é menor ou igual a E[f(X)]. Na aula 37 e no Teste 10 desenvolvemos esta ideia.

A Desigualdade de Jensen vai nos servir de pretexto para discutir o conceito de Densidade de Probabilidade, reinterpretando os conceito de Derivada, de Integral e o Teorema Fundamental do Cálculo.

Voltando às funções convexas, cuja definição não pressupõe a continuidade, veremos, na aula 38, que seguem da definição: no interior do intervalo de definição, toda função convexa é contínua e tem em cada ponto derivadas à esquerda e à direita; mais ainda, a derivada existe em todos os pontos, a menos de, no máximo, um conjunto enumerável (em que a derivada à esquerda é estritamente menor do que a à direita). Uma observação importante, que só aparece no Teste 10: o gráfico de uma função convexa está sempre acima de suas "tangentes".