semana 13 - Probabilidade, Convexidade, Desigualdade de Jensen
Desigualdade Triangular
A versão em que x e y são números reais é bem simples, mas é preciso tê-la no sangue. Dê uma olhada nos livros. Note que é de uso diário. Sugestão de exercício: demonstre que a distência de A a B + a distância de B a C é < ou = à distância de A a C, quando A, B e C estão em R² ou R³, usando coordenadas.
Desigualdade de Jensen
Enunciada e demonstrada na Lista 2 (questão 35, letra d - ver soluções da Maria Eduarda) e no Teste 6. Uma versão mais geral, em que a média é "ponderada" por uma densidade de probabilidade, p(x), está na Wikipedia, com a referência para o artigo original do Jensen. É bom começar fazendo inteira a questão 35 da Lista 2. A ideia da demonstração é apresentada na Aula 37 e a desigualdade, numa forma mais geral, aparece no Teste 10 de 2021
A vida é cheia de erros...e o que afirmamos ser certo é, em geral, apenas aproximadamente certo. Um bom consolo é sermos capazes de avaliar de forma satisfatória o tamanho de cada erro. Em Matemática isso recebe o nome de fazer uma "estimativa de erro", ou, mais geralmente, fazer "estimativas". O passo que nos leva da exatidão para a estimativa é a troca do sinal de igual pelo de menor ou igual, é trocar igualdades por desigualdades.
Partiremos da desigualdade básica, a Desigualdade Triangular, mencionaremos a Desigualdade de Cauchy-Schwarz-Buniacóvski, retornaremos à Desigualdade do Valor Médio e, finalmente, dedicaremos especial atenção à Desigualdade de Jensen.
Desigualdade Triangular - é a desigualdade básica, que expressa a convicção de que o menor caminho entre dois pontos é em linha reta, ou que qualquer lado de um triângulo tem comprimento menor do que a soma dos comprimentos dos outros dois (podendo haver igualdade em casos degenerados).
Desigualdade do Valor Médio, ou Teorema dos Acréscimos Finitos - é intrínseca à ideia de derivada como velocidade; expressa a certeza de que quem anda mais rápido e em linha reta sempre chega mais longe do que quem vai mais devagar e, eventualmente, ziguezagueia.
Desigualdade de Jensen - menos banal, generaliza para médias (inclusive de infinitos valores) o fato de que o gráfico de uma função convexa está sempre abaixo do segmento que liga quaisquer dois de seus pontos: se f é convexa, E[X] é a média dos pontos de X e E[f(X)] é a média dos valores de f nos pontos de X, então f(E[X]) é menor ou igual a E[f(X)]. Na aula 37 e no Teste 10 desenvolvemos esta ideia.
A Desigualdade de Jensen vai nos servir de pretexto para discutir o conceito de Densidade de Probabilidade, reinterpretando os conceito de Derivada, de Integral e o Teorema Fundamental do Cálculo.
Voltando às funções convexas, cuja definição não pressupõe a continuidade, veremos, na aula 38, que seguem da definição: no interior do intervalo de definição, toda função convexa é contínua e tem em cada ponto derivadas à esquerda e à direita; mais ainda, a derivada existe em todos os pontos, a menos de, no máximo, um conjunto enumerável (em que a derivada à esquerda é estritamente menor do que a à direita). Uma observação importante, que só aparece no Teste 10: o gráfico de uma função convexa está sempre acima de suas "tangentes".