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Mathematics is a perspective
One way of thinking about mathematics is that it serves as a powerful perspective through which to understand the world around us. In this way, mathematics has a lot in common with the arts since both deal with conceptions of reality. Yet importantly, mathematics differs because its methodology is exact and disciplined with strict adherence to deductive logic.
Maths and problem solving
When writing a maths curriculum, a choice is sometimes made between emphasising the ability to execute algorithms or to focus on problem solving. The following approaches are pitched towards improving problem solving and theoretical thinking.
What is three? What is a number?
3 / … / aaa / xxx / 9/3 / III / tres
For the most part, algebra is the study of mathematical symbols and how to manipulate expressions according to the governing rules. Algebra as a system has a long and varied history, boasting influences stretching back to the ancient Babylonians, Egyptians, and Greeks, developing over the centuries with later contributions from the Persians, the Renaissance, as well as the modern period.
How to teach maths and algebra
Often, maths is studied procedurally. For example, students learn to recognise the shape of a particular equation, then follow the instructions to arrive at the next step. This type of approach relates to the Turing Test and Searle’s Chinese Room thought experiment and the idea that a thinker may appear to understand a language, yet this understanding is superficial at best.
Recently, however, maths teaching has undergone a change of direction. For example, in the UK the year 8 curriculum has shifted emphasis from teaching two- or three-step equations (two-step equations such as 3a+2=32) to learning the language of equations and being shown how to read them. Teachers advocating this approach ask questions such as: What does 3a mean? What is a variable? What could a look like? Can a be drawn? What would 3a+2 look like?
The focus is on developing a theoretical, flexible, and sophisticated understanding of base concepts, offering students a way to think that is true to what algebra really is: a formal, rules-based language system.
Bar modelling is one technique that can help students think about maths more theoretically, encouraging them to conceive of algebraic expressions as representations of anything rather than always associating them with natural numbers.
3a
a a a
3a+2
a a a +2
The idea is to differentiate between 2, or number theory 2, and 3a which is a representation of value, or three lots of something. The aim is to encourage students to shift their understanding of 3a from the number 3 to a representation of value.
A teacher might ask the question, what’s bigger 3a or 3a+2? One response would be that, without knowing what a is, it’s impossible to say which is bigger. To deepen the conceptual thinking, a follow up is to ask students to explore when 3a+2 would be bigger, smaller, and equal to 3a.
Storytelling offers another approach, focusing on how equations can be read. This relates specifically to the agreed order in which mathematical processes are executed. One activity is to ask students to tell a story explaining the meaning of 3a+2 = 32, possibly three packets of biscuits plus another two, equalling 32 biscuits. Another story might regard a quadrilateral that has three sides of length a and one side of length 2 with a perimeter of 32.
The link to language is that maths has an agreed grammar and syntax and those in the maths community accept and agree how mathematical expressions are to be read and understood.
The claim for this approach outlined is that students learn to think more theoretically and conceptually about equations, and about maths in general. The hope is that this approach prepares students to better deal with more complex expressions, such as three-step equations 5(3a+2) +6 = 166.
It ain't what you prove, it's the way that you prove it …
Different from the sciences, history and the arts, mathematics is concerned with exactness and absolute truth. Therefore, maths makes use of deductive rather than inductive logic: a mathematical proof is simply a valid argument from an accepted truth claim to a new result. And ultimately, all mathematical truths derive from assumptions or agreed definitions.
Triangles and definitions
As with algebra, geometry knowledge claims are only certain given the formal system within which you’re working. If you define a triangle as a three-sided shape, you may conclude the sum of its internal angles totals 180°. Yet, validity here depends on two assumptions: firstly, that a complete circle has 360° degrees; and secondly, that the triangle referred to exists on a flat Euclidean plane.
The latter point is noteworthy as drawing a three-side shape on the surface of a round sphere results in the triangle’s internal angles totalling more than 180°.
The way to clarify any confusion is to agree to all assumptions within any system. All conclusions, or theorems, are then deduced from these axiomatic beginnings. It’s important to remember that these assumptions are exactly that, assumed; should the axioms change then so too will the conclusions.
Mathematics is purely theoretical
When arriving at mathematical truth, for example the sum of a triangle’s internal angles, mathematicians don’t look for experimental evidence, they don’t measure the angles. For the most part, the truths of mathematics are not informed by imperfect experimental evidence or inductive logic. Instead, mathematicians are focused on pure theory, in this case the theory of triangles.
Thus, the axioms that define a particular system are fundamental to mathematics. If you choose to change these parameters, as a logical consequence you also change the concluding knowledge claims.
Mathematics and perspectives
A classic question pitched to mathematics asks whether it is invented or discovered. Although this debate is interesting, it can confuse something very important: the focus of mathematics is not to explain the external world, rather it deals with objects perceived by our minds and the rules applied to govern them.
The case for separating mathematics from any understanding of the physical world is strengthened when we reflect how different paradigms, and Kuhnian revolutions, reveal how conceptions of reality vary between individuals and over time.
Games and meaning
Just as with chess, where the different pieces and how they move are determined by agreed rules, mathematics is merely a collection of formal logical structures derived from agreed assumptions. Whether these systems correspond to the external world is arbitrary.
What is incredible is that mathematics appears to describe the physical and human worlds with astonishing accuracy. It’s also justified to point out that axioms are chosen because they offer systems that are useful, given the world we inhabit. Moreover, the purely analytic and logically certain nature of mathematics means that it offers knowers an extraordinarily powerful way of thinking. Maths gives us a way to see the world and test its limits.
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Las matemáticas es una perspectiva
Una forma de pensar acerca de las matemáticas es que sirven como una poderosa perspectiva a través de la cual comprender el mundo que nos rodea. De esta manera, las matemáticas tienen mucho en común con las artes ya que ambas tratan concepciones de la realidad. Sin embargo, lo que es más importante, las matemáticas difieren porque su metodología es exacta y disciplinada con estricta adherencia a la lógica deductiva.
Las matemáticas y resolución de problemas
Al escribir un plan de estudios de matemáticas, a veces se elige entre enfatizar la capacidad de ejecutar algoritmos o centrarse en la resolución de problemas. Los siguientes enfoques están dirigidos a mejorar la resolución de problemas y el pensamiento teórico.
¿Qué es tres? ¿Qué es un número?
3 / … / aaa / xxx / 9/3 / III / three
En su mayor parte, el álgebra es el estudio de los símbolos matemáticos y cómo manipular expresiones de acuerdo con las reglas vigentes. El álgebra como sistema tiene una historia larga y variada, con influencias que se remontan a los antiguos babilonios, egipcios y griegos, desarrollándose a lo largo de los siglos con contribuciones posteriores de los persas, el Renacimiento y el período moderno.
Cómo enseñar las matemáticas y álgebra
A menudo, las matemáticas se estudian procedimentalmente. Por ejemplo, los estudiantes aprenden a reconocer la forma de una ecuación en particular, luego siguen las instrucciones para llegar al siguiente paso. Este tipo de enfoque se relaciona con la prueba de Turing y el experimento mental de la habitación china de Searle y la idea de que un pensador puede parecer que entiende un idioma, pero esta comprensión es superficial.
Recientemente, sin embargo, la enseñanza de las matemáticas ha experimentado un cambio de dirección. Por ejemplo, en el Reino Unido, el plan de estudios del año 8 ha cambiado el énfasis de enseñar ecuaciones de dos o tres pasos (ecuaciones de dos pasos como 3a+2=32) a aprender el lenguaje de las ecuaciones y mostrar cómo leerlas. Los maestros que defienden este enfoque hacen preguntas como: ¿Qué significa 3a? ¿Qué es una variable? ¿Qué aspecto podría tener? ¿Se puede dibujar a? ¿Cómo sería 3a+2?
El enfoque está en desarrollar una comprensión teórica, flexible y sofisticada de los conceptos básicos, ofreciendo a los estudiantes una forma de pensar que es fiel a lo que realmente es el álgebra: un sistema de lenguaje formal basado en reglas.
El modelado de barras es una técnica que puede ayudar a los estudiantes a pensar en las matemáticas de manera más teórica, alentándolos a concebir las expresiones algebraicas como representaciones de cualquier cosa en lugar de asociarlas siempre con números naturales.
3a
a a a
3a+2
a a a +2
La idea es diferenciar entre 2, o teoría de números 2, y 3a que es una representación de valor, o tres lotes de algo. El objetivo es alentar a los estudiantes a cambiar su comprensión de 3a del número 3 a una representación de valor.
Un maestro podría hacer la pregunta, ¿qué es más grande 3a o 3a+2? Una respuesta sería que, sin saber qué es a, es imposible decir cuál es más grande. Para profundizar el pensamiento conceptual, un seguimiento es pedirles a los estudiantes que exploren cuándo 3a+2 sería más grande, más pequeño e igual a 3a.
La narración ofrece otro enfoque, centrándose en cómo se pueden leer las ecuaciones. Esto se relaciona específicamente con el orden acordado en el que se ejecutan los procesos matemáticos. Una actividad es pedirles a los estudiantes que cuenten una historia que explique el significado de 3a+2 = 32, posiblemente tres paquetes de galletas más otros dos, lo que equivale a 32 galletas. Otra historia podría considerar un cuadrilátero que tiene tres lados de longitud a y un lado de longitud 2 con un perímetro de 32.
El vínculo con el lenguaje es que las matemáticas tienen una gramática y una sintaxis acordadas y aquellos en la comunidad matemática aceptan y están de acuerdo en cómo deben leerse y entenderse las expresiones matemáticas.
La afirmación de este enfoque descrito es que los estudiantes aprenden a pensar más teórica y conceptualmente sobre ecuaciones y sobre matemáticas en general. La esperanza es que este enfoque prepare a los estudiantes para manejar mejor expresiones más complejas, como las ecuaciones de tres pasos 5(3a+2) +6 = 166.
No es lo que demuestras, es la forma en que lo demuestras ...
A diferencia de las ciencias, la historia y las artes, las matemáticas se ocupan de la exactitud y la verdad absoluta. Por lo tanto, las matemáticas hacen uso de la lógica deductiva en lugar de la inductiva: una prueba matemática es simplemente un argumento válido de una afirmación de verdad aceptada para un nuevo resultado. Y, en última instancia, todas las verdades matemáticas se derivan de suposiciones o definiciones acordadas.
Triángulos y definiciones
Al igual que con el álgebra, las afirmaciones de conocimiento de geometría sólo son ciertas dado el sistema formal dentro del cual está trabajando. Si defines un triángulo como una forma de tres lados, puedes concluir que la suma de sus ángulos internos da un total de 180°. Sin embargo, la validez aquí depende de dos supuestos: primero, que un círculo completo tiene 360° grados; y en segundo lugar, que el triángulo al que se hace referencia existe en un plano euclidiano plano.
El último punto es notable ya que dibujar una forma de tres lados en la superficie de una esfera da como resultado que los ángulos internos del triángulo sumen más de 180°.
La forma de aclarar cualquier confusión es estar de acuerdo con todos los supuestos dentro de cualquier sistema. Todas las conclusiones, o teoremas, se deducen entonces de estos comienzos axiomáticos. Es importante recordar que estas suposiciones son exactamente eso, asumidas; si los axiomas cambian, también lo harán las conclusiones.
Las matemáticas son puramente teóricas
Al llegar a la verdad matemática, por ejemplo, la suma de los ángulos internos de un triángulo, los matemáticos no buscan evidencia experimental, no miden los ángulos. En su mayor parte, las verdades de las matemáticas no están informadas por evidencia experimental imperfecta o lógica inductiva. En cambio, los matemáticos se centran en la teoría pura, en este caso la teoría de los triángulos.
Así, los axiomas que definen un sistema particular son fundamentales para las matemáticas. Si elige cambiar estos parámetros, como consecuencia lógica también cambia las afirmaciones de conocimiento finales.
Las matemáticas y perspectivas
Una pregunta clásica lanzada a las matemáticas pregunta si se inventa o se descubre. Aunque este debate es interesante, puede confundir algo muy importante: el enfoque de las matemáticas no es explicar el mundo externo, sino que se trata de objetos percibidos por nuestra mente y las reglas aplicadas para gobernarlos.
El caso de separar las matemáticas de cualquier comprensión del mundo físico se fortalece cuando reflexionamos sobre cómo los diferentes paradigmas y las revoluciones kuhnianas revelan cómo las concepciones de la realidad varían entre individuos y con el tiempo.
Juegos y significado
Al igual que con el ajedrez, donde las diferentes piezas y cómo se mueven están determinados por reglas acordadas, las matemáticas son simplemente una colección de estructuras lógicas formales derivadas de suposiciones acordadas. Que estos sistemas correspondan al mundo exterior es arbitrario.
Lo increíble es que las matemáticas parecen describir los mundos físico y humano con una precisión asombrosa. También se justifica señalar que los axiomas se eligen porque ofrecen sistemas que son útiles, dado el mundo que habitamos. Además, la naturaleza puramente analítica y lógicamente cierta de las matemáticas significa que ofrece a los conocedores una forma de pensar extraordinariamente poderosa. Las matemáticas nos dan una forma de ver el mundo y probar sus límites.
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