埃及分數

三千五百多年前，古埃及的書吏在羊皮紙上寫下了奇特的數學遊戲。古埃及人不喜歡把分數寫成「2/15」的樣子，而是要把它拆成一堆分子是1的單位分數的加總，例如：

2/15 = 1/12 + 1/20

因此，古埃及人不會說「我的土地有 2/5 被洪水淹了」，而是說「我的土地有 1/3 + 1/15 被洪水淹了」。

現存最早的古埃及文字記錄之一是約為公元前1650年的《Rhind Mathematical Papyrus 萊因德數學紙草書》，其中包含一張表格，將 2/n 形式的分數表示為兩個、三個或四個分母不同的單位分數之和。表格涵蓋了 n 不超過 101 的情況，但省略了分母為偶數的分數，例如 2/4、2/6…，這顯示古埃及人清楚地認識到這些分數與最簡分數 1/2、1/3…之間的等價關係。

對現代人來說應該滿臉黑人問號，將 2/5 寫成 1/3+1/15 這樣的表示方式太複雜以至於有點愚蠢，但古埃及人卻樂此不疲，甚至留下了系統化的「單位分數表」，告訴你常見分數該怎麼拆，這就是最早的「埃及分數」概念。至於他們為什麼要這樣子做，考古學家還沒有足夠證據解釋他們的動機，有一說法是可能和古埃及人的整數乘法運算習慣有關。

古埃及人使用一種「加倍與拆分」（doubling + halving）的方法來進行乘法：
先將一個乘數拆成二的冪次（1、2、4、8…），對應地將另一個乘數做加倍，然後把對應的加倍項相加。

例如，要算 13×12，他們會建立一個「加倍表」：

倍數 對應數

1         12

2         24

4         48

8         96

接著，把 13 寫成 8 + 4 + 1，然後加上對應的 96 + 48 + 12 = 156，這樣就得到 13 ×12=156。

這種方法只需要會算「乘二」和「加法」，連乘法表都不需要背。

因此，他們的數字某種程度上是以這種形式表示的 N=c020 +c121 + c222 +… 

其中係數 ci  的值為 0 或 1。

當這種算術擴展到包含分數時，一個自然的聯想是古埃及人將分數也表示為以下形式：q/p=c0 /d0 +c1 /d1 +c2 /d2 +… 

其中係數 ci  的值同樣只能是 0 或 1，但又意識到使用 di =2-i  並無法精確展開每一個分數，因此將分母放寬到允許不是 2 的冪次。
但這樣的想法並沒有充分的證據支持，特別是無法解釋用一堆單位分數表示要怎麼比較兩個分數的大小，這在實務上是必須要面對的實際問題。

丟番圖方程

中世紀時期及更早之前，希臘數學家丟番圖（Diophantus of Alexandria）與阿拉伯數學家有時會使用類似埃及分數表示法，但並未形成獨立理論。表面上，這只是換一種方式寫分數而已，但背後卻藏著數學家至今仍在挑戰的難題。

19 世紀末至 20 世紀初，歐洲數學家開始將這類問題納入「丟番圖方程」研究。「丟番圖方程」的名字來自人稱「代數之父」的古希臘數學家丟番圖，他研究的一類特殊方程是只允許整數（或有時是有理數）作為解的方程。

比方說，x2 + y2 = z2  畢氏定理的整數版本就是最著名的丟番圖方程之一，(3, 4, 5)、(5,12,13) 都是它的整數解。

一個丟番圖方程通常長得像這樣：

f(x1, x2, …, xn)=0 

其中 f 是一個多項式，而我們要求的不是所有實數解，而是「整數解」或「分數解」。

這類方程因為沒有通用公式，並且小小改動就可能讓解的性質完全不同，因此，不容易掌握。而它之所以令數學家著迷，是因為這樣的方程介於「簡單算術」與「高深代數」之間，連結了許多數學領域，包含數論（質數、因數分解、模運算）、代數幾何（方程的曲線結構）、電腦科學（演算法與可解性問題）。

事實上，著名的「希爾伯特第十問題」問的就是：「是否存在一個通用方法，能判斷任何丟番圖方程是否有整數解？」，而答案是沒有。

也就是說，這類方程在本質上就帶有「不好解」的特性。

回到埃及分數，一個簡單的問題大致是這樣子：

「給一個分數，例如 4/17，你能不能把它拆成單位分數的和？要拆成幾項才行？」

更一般形式是解下面這種方程，其中 m, n 和所有 xi  都是正整數 

如果沒有限制只能使用多少個分數的話，數學家發明了一種「貪婪演算法」保證行得通：

【對於任意 m/n 每次都挑一個最大的單位分數先扣掉，然後繼續拆。】

這種方法保證在有限步驟一定能成功，但結果往往冗長到嚇人。

例如：比 4/17 小的最大單位分數是 1/5，先扣掉之後剩餘 3/85，比它小的最大單位分數是 1/29，再將之扣掉後，此時剩餘 2/2465，比它小的最大單位分數是1/1233，扣掉後剩餘 1/3039345。綜合以上，我們可以寫成

分母越來越巨大，看得人頭暈眼花。但神奇的是，這個步驟必定會成功，而且若初始分數是 m/n，則保證在 m步 內結束。

但這並非最簡潔的寫法，換個方式，我們可能有更精簡的答案

艾狄胥的挑戰

Richard Dedekind (1897) 在其著作中提出用最大公因數分解的方法來處理分數分拆問題。20 世紀初的 Mordell (1969)、Nakayama (1939) 等人也研究了分數分拆方程的可解條件。在這些問題裡，最有名的就是1950年提出的 Erdős–Straus 猜想：

「對於每個大於等於 2 的整數 n，都能把 4/n 拆成三個單位分數的和？」亦即，解這個看起來相當精美的方程式

或者你可以移項轉換成整數方程 4xyz = n(xy+yz+zx) 的形式。

「對所有 n>1，是否總能找到正整數 x, y, z 滿足這個式子？」

這看似小巧的方程式，卻讓數學家研究了七十多年，至今仍沒人能證明它對所有正整數 n 都成立。

電腦已經驗證 n 到 1017  都成立，但對「所有」數字是否都能拆？仍是未解之謎。Erdős–Straus猜想成為現代埃及分數研究的核心議題，之後，Sierpiński、Schinzel、Stewart 等人相繼推廣至一般形式，形成「埃及分數理論」的主要分支。1970 年代後，研究者開始探討諸如此類的問題: 

1. 給定分數最少需要幾個單位分數？

2. 一個分數能以多少種不同方式拆分？

3. 在限制條件（如分母區間、同餘條件）下是否仍可找到解？

2000 年以後，Elsholtz、Tao、Bloom 等人則分別將這些問題與組合數論、密度問題、甚至與資訊理論（Huffman codes）連結。

在三千年前的紙草卷上，埃及書吏細心地將每一個分數拆解成單位分數。對他們而言，這是計算糧食、分配工資的日常工具；對現代人來說，卻是一扇通往數學深處的窗，讓我們在最簡單的算術裡，看見數論的深層結構。

這些古老的算式並沒有隨時間消逝，而是變成現代數學的一部分，成為數論、代數幾何、甚至電腦科學中的核心問題。或許，數學的魅力就藏在各種意想不到之處，等待有心人去找尋。