【生活】麥當勞《獵人》盲卡蒐集問題

麥當勞《獵人》盲卡包實測結果呢?

再回到麥當勞獵人盲卡包，25種牌，發生的機率為何呢？這個官方沒有公布。
(話說，線上遊戲抽卡都要公布每張的機率了，為什麼實體盲卡包不用公布？!)

根據網友「mingjuiscool」的統計以及「jesse_wei1034」的分析 [2]，推測這25張卡片的出現機率分配如下：

12張R卡（銅卡）：5%

6張SR卡（銀卡）：4%

6張SSR卡（金卡）：2.5%

1張SSR大傑（金卡）：1%

然後代入公式就可以了……

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開什麼玩笑，25個p值，要把任意k個相加的值都算出來，總共有2的25次方那麼多種，雖然有許多值相同，但也要花不少工夫。這時我們可以用程式幫忙，徐祥峻教授提供了一個簡短的python程式碼給大家參考。大師的程式碼就是這麼的簡短。

不過2的25次方實在太大了，程式也要跑一分多鐘才有結果。算出來大約145.852。也就是要買差不多146張才能湊的到一套。

什麼 ? 你說盲卡包一次有四張!

若盲卡包每包含四張不同的卡片，那答案會不會就是145.852/4 ≈ 36.44包？
這樣估計是可以，但由於每包內的四張卡片皆為不同，實際所需數量應比此估算值略少，不負責任猜測期望值約32包左右。每包售價89元，總花費約2800元。麥當勞在這點上，是非常佛心了，對比許多卡牌遊戲的收集成本常常破萬，這樣的價格相對合理。

其實，統計學家 Stadje 在 1990 年已推導出一包有𝑘張卡牌隨機組合的期望值公式[3]，但由於實際上每四張卡片組合的機率並不完全相同，加上四張成包的模式會引入更多變數，因此直接套用公式的誤差較大，這裡我們就不再深入計算了。

其他推廣也不少
例如：(1) 計算變異數；(2) 改成要蒐集𝑚套，這樣的期望值是多少？(3)當已經蒐集完一套後，剩下的不同卡牌數量的期望值是多少？

直接購入取代抽盲包?
在現代網路的加持下，有些聰明的玩家可能會選擇先買十幾包，若僅剩一兩張時，要再得到新卡的機率太小，不如透過網路付出相對較高的價格直接購入來得划算。
蝦皮上面已經發現有人一張卡要賣580元，那麼什麼時候直接購買最划算？這是值得探討的問題。反過來，若你是賣家要販售多餘的卡片，一張要賣多少比較合理？

參考文獻

[1] S. Ross, A first course in probability, 9th Edition, Pearson, 2012.

[2] https://www.threads.net/@mingjuiscool/post/DBgjKjVzStY

[3] W. Stadje, The collector’s problem with group drawings, Advances in Applied Probability, 22:866-882, 1990.