張貼日期：Nov 13, 2020 7:21:31 AM

作者：王業凱 助理教授（國立成功大學數學系）、李國瑋 助理教授（國立彰化師範大學數學系）

Roger Penrose – Facts – 2020. NobelPrize.org. Nobel Media AB 2020. Fri. 13 Nov 2020. <https://www.nobelprize.org/prizes/physics/2020/penrose/facts/>

就在 2020 年 10 月 6 日，諾貝爾獎委員會宣布今年諾貝爾物理學獎得主是由英國數學物理學家 羅傑∙彭羅斯爵士 (Sir Roger Penrose) 獲得，獲獎原因是彭羅斯 「發現黑洞的形成確實是廣義相對論的可靠預測」 [1]，該獎項也與另外兩位天文物理學家根澤爾與格茲共享。

彭羅斯在 1931 年 8 月 8 日出生於英國埃塞克斯郡的科爾切斯特，於 1958 年在劍橋聖約翰學院以《代數幾何中的張量方法》為博士論文取得學位，他的指導教授是代數幾何學家陶德 (John A. Todd)。在倫敦伯克貝克學院擔任副教授期間受到後來成為霍金指導教授的宇宙學家西亞瑪 (Dennis Sciama) 影響，彭羅斯將注意力轉往天文物理學領域。

在 1960 年代初期，人們對於黑洞的認識與理解皆侷限在那些具有球形對稱的精確解，比方說「施瓦西黑洞」與「奧本海默-斯奈德模型」都是經典的球對稱解，在這些模型中都顯示了時空具有奇異點的現象。

然而，時空奇異點的出現在那個年代曾經帶來了一些爭辯：

奇異點的產生是由於模型的高度對稱性所致嗎？

如果是這樣的話，奇異點將會被視為一種非物理的現象，因為現實的宇宙並不具有如此完美的高度對稱性。

不是的話，如何在不具對稱性的時空解都還不清楚的情況下，證明奇異點仍會發生呢？

彭羅斯在 1965 年發表的論文《重力坍塌和時空奇點》中，證明了奇異點定理，釐清上述的爭論。

彭羅斯奇異點定理和黑洞存在性的連結

一、 彭羅斯對於時空奇點產生之洞見關鍵在於「陷獲曲面」的概念。陷獲曲面是一個二維曲面，曲面上的每一點在時空中對於兩個方向的類光均曲率皆小於零。另一種等價描述是：當陷獲曲面沿著朝外類光方向與朝內類光方向變動時，其曲面的面積皆遞減。

任何一個二維封閉曲面對著朝外類光方向與朝內類光方向變動時，曲面面積會跟著變化，但陷獲曲面和非陷獲曲面上的表現則有所差別。不具陷獲曲面的時空（左圖），對於朝外類光方向的擾動，曲面面積會增加，而對於朝內類光方向的擾動，曲面面積則會減少。若時空中具有陷獲曲面（右圖），則曲面面積對於朝外類光方向的擾動仍然會減少。

二、 陷獲曲面的存在暗示著其附近具有一個非常強的重力場。

三、 研究黑洞要透過陷獲曲面。黑洞是一個任何物體甚至光線都無法逃逸的區域。在理論上若要確知黑洞的存在性，則必須對於時空度量有一個全局的認識，但這種大範圍的時空度量很難想像要如何透過實驗的方式實現。然而，陷獲曲面在本質上提供一種時空度量局部的描述。

四、 陷獲曲面在任何時空度量的擾動下都是穩定的。前述陷獲曲面定義中，「對於兩方向的類光均曲率皆小於零」，它們是嚴格的不等式，它的物理意義即是陷獲曲面在任何時空度量的擾動下都是穩定的。

五、 時空的度量一經擾動之後就變得不具對稱性。因此，在這個意義下，彭羅斯的奇異點定理提供了黑洞的存在性一個可靠的理論基礎。

在此之後關於黑洞存在性於數學上的論證工作，也都是以探討封閉陷獲曲面的存在性為基礎，例如孫理查－丘成桐的文章《基於物質凝聚下黑洞的存在性》與克里斯托杜魯《廣義相對論中黑洞的形成》專著。

奇異點定理關於「類光測地線的不完備性」結論是怎麼回事呢？

以數學定義而言，這是說存在一條從陷獲曲面散發出的類光測地線 (光線行徑的軌跡) 在某個終端後無法延拓。為詳細說明這個概念，我們將以施瓦西黑洞 (Schwarzschild black hole) 以及克爾黑洞 (Kerr black hole) 兩個模型進行比較。下圖表示關於這兩個時空模型的彭羅斯圖 (彭羅斯圖也是彭羅斯的另一個重要發明)。

左圖中施瓦西時空對於類光測地不完備性的原因是，該時空的曲率度量在靠近奇異點時將趨近於無限大，也就是說，光線行徑的軌跡是圖形中的紅色線條，而這條測地線上趨近於彭羅斯圖波浪狀的線條 (施瓦西時空的奇異點) 時，黎曼曲率張量的範數趨近於無限大。 這類的奇異點是大家心中所期待與認可的奇異點。

克爾黑洞的彭羅斯圖顯示，測地線的行徑軌跡只會到達時空的邊界 (標記粗線位置)，這條粗線在廣義相對論的術語來說就是柯西視界。在克爾黑洞理論中，時空的類光測地不完備性並非來自於曲率的正則性被破壞，而是時空的整體雙曲性質不再成立。此時，若將愛因斯坦方程式視為帶有初始條件的雙曲型偏微分方程，在柯西視界之後的時空延拓就不再被初始條件唯一決定，而時空延拓之唯一性會與古典物理上相信時空是可預測的這件事違背。

上述兩類時空不完備性現象，在物理上哪一個才是在擾動意義下仍然穩定的合理結果呢？

科學家最初的期望是覺得克爾時空經過一般的擾動後，柯西視界會消失，曲率奇異點會取而代之；也就是說，施瓦西黑洞的情形比較普遍。

但是，後來在數值模擬及對於球對稱模型的研究中，顯示柯西視界反而是穩定的結果。最近，達弗莫斯與陸穎康兩位學者有了重要的突破，在數學上提出嚴謹證明，為克爾黑洞的穩定性提供進一步的支持，關於這方面的討論可見 [3] 的說明。

彭羅斯其他開創性工作

奇異點定理只是彭羅斯許多開創性的工作之一，其它還有：

1. 弱宇宙監督假設 (weak cosmic censorship) 與強宇宙監督假設 (strong cosmic censorship) 起源於彭羅斯的研究構想。此後，這兩個猜想已成為廣義相對論的主要研究問題。基於一些反例的產生，宇宙監督假設經過數次修改[6]，現在宇宙監督假設已有比較仔細且明確的敘述。關於這方面的發展，也可見前述達弗莫斯與陸穎康的工作。

2. 紐曼-彭羅斯形式論 (Newman-Penrose formalism) 以 12 個複數型自旋係數來看待廣義相對論，並將愛因斯坦方程式 (二階非線性微分方程組) 轉換為一階紐曼-彭羅斯方程 (Newman- Penrose equations)。

3. 彭羅斯利用共形緊緻法 (conformal compactification) 分析時空在類光無窮遠處的行為，這是目前研究遠距離重力波輻射的一套標準方法。

4. 彭羅斯過程 (Penrose process) 描述如何將物質射擊進入克爾黑洞的動圈中並從中提取能量的過程。彭羅斯想像宇宙中如果存在超高等文明，在黑洞附近建造裝置從轉動的黑洞中提取能量是有可能的。

5. 扭量理論 (twistor theory) 的目的是想提供一種結合量子力學與廣義相對論的統一理論。其基本思想是將閔可夫斯基時空的一個點以一個二維複數平面 (該點的自旋空間) 取代, 以便用更內蘊的方式處理基本物理的對稱性。

有趣的是，彭羅斯在科學上最「有名」的科學工作並非引力時空物理學的討論。截至 2020 年 10 月 18 日為止，彭羅斯被人引註多達 4805 次的文章是他的一篇在 1955 年的論文《廣義反矩陣》 [7]。這篇論文中，他重新發現到對任何 m × n 矩陣 A，都存在唯一的 n × m 矩陣 A^＋，該矩陣扮演逆矩陣的諸多功用。特別地，當 A 是可逆方陣時，則 A^＋就是我們熟知的反矩陣 A^-１。而這個廣義反矩陣又稱為摩爾-彭羅斯反矩陣 (Moore-Penrose inverse)，被廣泛地應用於統計學與機器學習的領域中。

另一個重大發現是彭羅斯於 1976 年發現了可以只用兩種形狀的地磚非週期地鋪滿整個平面，稱為彭羅斯平舖。後來化學家發現這種結構出現於準晶體中。2011 年諾貝爾化學獎得主舍特曼即以他在 1982 年首度發現準晶體的成就獲獎。

＊出處＊

原文轉載自中華民國數學會電子報第 37 期，並徵得作者同意，本文經編輯略作調整。

參考文獻

[1] https://www.nobelprize.org/prizes/physics/2020/summary/

[2] R. Penrose: Gravitational collapse and space-time singularities. Phys. Rev. Lett. 14 (1965), 57–59.

[3] Mathematicians Disprove Conjecture Made to Save Black Holes, Quanta Magazine, May 17, 2018.

[4] R. Schoen and S.-T. Yau: The existence of a black hole due to condensation of matter. Comm.

Math. Phys. 90 (1983), no. 4, 575–579.

[5] D. Christodoulou: The formation of black holes in general relativity. EMS Monographs in Mathe- matics. European Mathematical Society (EMS), Zürich, 2009.

[6] A Bet on a Cosmic Scale, And a Concession, Sort Of, The New York Times, Feb. 12, 1997;

http://theory.caltech.edu/preskill/bets.html, John Preskill’s webpage.

[7] Roger Penrose: A generalized inverse for matrices. Proc. Cambridge Philos. Soc. 51 (1955), 406–413.