張貼日期：Sep 01, 2020 10:10:49 AM

話說前幾天我朋友在網路上PO了一張照片，是她之前（不知何時）學統計時的筆記截圖。那段筆記是關於相關係數 r 的，其中包含這一段：

我當下看到的時候，心中只有一個聲音：

啊啊啊啊啊不要啊啊啊啊啊這件事情果然發生了啊啊啊啊啊～～～

會這樣吶喊是因為，我蠻清楚知道這不會是我朋友的問題，而是教我朋友的老師的問題。這個狀況，就有點像是小時候有些老師在教除法的時候，會直接講說：

「你們看到題目，就把比較大的數字除以比較小的數字就對了。」

這個說法考試多半可以拿個分數，但概念上並不正確，必然會發生像是：

２顆蘋果給４個人分，每個人得２顆。

這種奇怪的結果。而很遺憾地，這個狀況，在統計的教學上，真的發生太多，也發生太頻繁了。

因此，請容我在此解釋一下，零相關不代表無關的這件事。

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首先，讓我們重溫一下什麼是相關係數，或者更正確的說，皮爾森的相關係數（Pearson Correlation）。假設我們想知道兩組數字是否存在「某種」關聯性，例如，人類的身高與體重之間的關係，為了研究這件事情，我們找來一群人，量量他們的身高與體重。假設我們找了一百個人來量，他們的身高（Ｘ）與體重（Ｙ）畫圖得到的結果如下：

純粹舉例用的圖，超出這個範圍的人不要太哀傷。

上圖中的一個點代表某個人的身高 Ｘ 與體重 Ｙ。就肉眼看起來，似乎 Ｘ 與 Ｙ 之間，有一個正比的關係是「身高越高，體重基本上越重」，約莫可以用上圖中的藍色線來表示。但如大家所看到的，資料點也不是完全貼合在藍色線上，中間有一段誤差。

那麼，有沒有一個指標可以告訴我們，一組資料有多直線呢？

皮爾森相關係數給予我們這樣一個指標。它的公式如下：

覺得上面的式子很可怕？沒關係，讓我們先忽略公式，直接來看它的性質：

1. r 一定會介於 -1 到 1 之間。(有興趣的朋友，這個證明很簡單，大家可以自己嘗試一下。)

2. 如果 r=1，則 r 一定會是一條斜率為正的直線。例如下圖

3. 如果 r=-1，則 r 一定會是一條斜率為負的直線。例如此圖

在此請特別留意，在上面 r=1 跟 r=-1 的情況下，我們只知道斜率是正的或是負的，但我們不會知道斜率是多少。換言之，就算 r=1，也只會知道「身高增加，體重會增加」，但至於增加 1 cm 會增加 1 kg 還是 100 kg，這我們不會知道。所以就算知道 r=1，你也不能對你朋友說「我比你高 10 cm，所以我比你重 20 kg 很合理。」

※

好，所以我們知道 r=1 跟 r=-1 時會發生什麼事情，那 r=0 呢？

這就有趣了…以下幾個圖，都是 r=0：

咦等等等等，怎麼突然變的這麼亂七八糟？

其實這也很合理。你看喔，r 接近 1 表示接近正斜率的直線，r 接近 -1 表示接近負斜率的直線。

這麼一來，r=0，也就是 r 遠離 1 跟 -1，表示資料點會遠離正斜率或負斜率的直線。

但遠離正斜率與負斜率的直線，有千千百百萬萬種可能啊！它可能是一個水平線 (a)、一個鉛直線 (b)，X 與 Y 可能無關 (c)，但也有可能很有關 (d)。畢竟 (d) 裡頭我可是直接讓 Y 是 X 的二次函數啊，夠有關了吧！

所以，結論是：

l 相關係數是 1 或 -1，我們知道它一定是一條正斜率或負斜率的直線。

l 但如果相關係數是 0，我們只知道它不是一條正斜率或負斜率的直線。但除此之外，我們甚至連 X 與 Y 有沒有關係都不知道。

簡言之，零相關，不代表無關。它只代表 X 與 Y 之間的關係，不會是一條正斜率或負斜率的關係，但世界上還有千千百百萬萬種關係。就像兩個人不是夫妻，但他們還是可以是夫夫、妻妻、伴侶、同居、前伴侶等各式各樣的關係。

備註：你可能注意到我之前強調是皮爾森的相關係數；是的，這表示還有其他的相關係數。舉例來說，如果我一點都不關心 X 與 Y 是不是呈現線性關係，我只在乎 X大，Y是不是也大，大多少沒差呢？

為了方便舉例，讓我們考慮以下這筆data：

這筆 data 的皮爾森相關係數大約是 0.7=70%，即使前 5 筆 data 中 X 與 Y 根本完全吻合，但第五筆的那1000000 讓它不是一條完美的直線，所以皮爾森相關係數不是 100%。

「可是可是可是明明 X 跟 Y 的大小就是完全的正相關，X 大 Y 就大，我我我我我好想要一個類似正比 100% 的指標啊啊啊啊～～」

有另一位斯皮爾曼（Spearman）老伯就想了個辦法：那我們就別考慮實際的數字大小了，我們來考慮排名怎麼樣？

概念是：如果 X 大 Y 也大，那 X 中排名第 1 應該要對到 Y 中排名第 1，X 中排名第 2 應該要對應 Y 中排名第 2，依此類推。

所以我們就來看看兩者排名的差距吧！斯皮爾曼於是定義了以下這個斯皮爾曼相關係數：

其中R_xi 是第 i 筆 data 裡的 X 在所有 X 中的排名，R_yi 是第 i 筆 data 裡的 Y 在所有 Y 中的排名。大家可以簡單計算一下，上面的 data 的斯皮爾曼相關係數，就真的會是 1=100% 了。

當然，就算斯皮爾曼相關係數是零，也還是不代表 X 跟 Y 之間沒關係。它也是代表 X 跟 Y 之間不是「X 大 Y 大」這樣的關係而已，至於是不是其他關係，天曉得。

總而言之，零相關不代表無關。那麼另一個問題是如果有相關，我們能夠說什麼...

「因為身高與體重呈正相關，所以我比你高表示我比你重?」

「因為家裡藏書量與孩子成績呈正相關，所以家長拼命多買書可以讓孩子成績變好?」

「因為高中三年體適能與學測成績呈正相關，所以上健身房加強體適能可以讓學測成績變好?」

讀者可以想一下，這樣說有沒有哪裡怪怪的?