張貼日期：Aug 19, 2020 1:31:33 PM

近幾年國內環保意識抬頭，因為塑膠吸管不能回收，造成大量的圾垃，所以環保署在 2019 年 7 月起禁用一次性塑膠吸管，不少飲料店紛紛改用成本高出許多的紙吸管，咖啡廳、餐廳則改用可重複清洗使用的金屬吸管，金屬吸管通常都是內用，直接放入杯中，不用插，所以還好...

但紙吸管就常常讓人覺得非常難用，插到爛掉還插不進去，為什麼呢？讓我們從這些年吸管的演變開始說起。

台灣的街頭常常人手一杯手搖飲，珍珠奶茶更是紅遍全球。在二十幾年前，很多手搖飲料店的飲料杯就像現在麥當勞裝可樂的杯子一樣，是紙杯蓋上塑膠蓋，然後插「圓柱狀」的吸管。

直到葉益芳先生發明了封口機後，手搖飲逐漸換成如今常見的封口杯，隨意放置飲料也不會流出來，非常方便。全面換成封口杯之後，有一樣東西也跟著產生微妙變化，那就是「吸管」。

吸管的一端必須變尖，方便直接插穿杯子的封口膜。

筆者前幾天買了一杯珍奶，結果吸管都插爛了還插不進去，加上天氣炎熱，火氣一上來索性就不喝了，滿腦子一直在想「為什麼吸管越來越難插」，直到我發現原因寫完這篇文章，珍奶就這樣放在研究室的桌上還沒喝，應該已經壞了…

高中的時候大家可能都學過二次曲線，雖然課程內容著重在代數上的運算，大部份老師或多或少還是會提一下古典幾何中的圓錐截痕，或稱圓錐曲線，例如下圖展示平面在雙圓錐上產生的各種截痕。

圖片取自wiki

當雙圓錐退化成圓柱，此時的截痕就會變成這樣，看起來有點像一根吸管被切了一刀。

但是，你手中的吸管真的長這樣嗎？

這裡先考考大家，吸管從側面看過去，長相會是下列哪一個圖？

（5秒…4秒…3秒…2秒…1秒…時間到）以下防雷

答案是 D！

什麼！！！怎麼跟圓錐截痕不一樣？！

因為…吸管就不是圓錐截痕啊！吸管就不是圓錐截痕啊！吸管就不是圓錐截痕啊！

答案違背我們直覺的原因在於，吸管用剪刀剪或用裁刀裁切時，吸管會先被刀壓扁，然後才直直剪過去，最後吸管的彈性，會再讓它彈回來形成空心柱體。

用數學來看吸管

剪裁前的吸管本身是圓柱(設半徑為 1 )，將之直立於 xy-平面利用參數式來描述吸管截痕曲線的話，它會是

r(t) = <cos t, sin t, z(t)>

這種形式，t 是繞圓的角度，觀察重點在於高度 z 是多少了。若是圓柱截痕，截平面 45 度切下去的話，即是用平面 z=x 來切，此時 r(t) = <cos t, sin t, cost>。調整 t 的範圍，可以畫出下面的 3D 圖。

但問題在於剪吸管時，吸管會先被剪刀壓扁，再沿 z=x 剪過去，也就是 z 隨著 x 等比例增加，然後吸管再彈回，此時就好像將這張壓扁的紙貼在圓柱上，換句話說在固定一個高度 z 時吸管回復至圓形的狀態，亦即圓參數式中的角度隨著 z(t) = t 做變化，所以截面曲線就是 r(t) = <cos t, sin t, t>，畫出來的

3D 吸管如下圖。

從吸管的側面看過去，相當於投影在 xz-平面，即為 z=sin^-1 x 的圖形。吸管橫擺也可以說成 z=sin x (或 z=cos x 取決於平移多少) 週期函數中的一部分。

你知道大多數吸管並不是切 45 度嗎？

因為這樣切最後會剩太多飲料吸不起來，造成浪費。一般會介於 25 度至 40 度之間較恰當。例如下圖中吸管大約是切 37 度左右。若將吸管直著擺，尖端從側面看，斜率最大，所以插吸管時，應該要垂直插最省力。

紙吸管插不進去的關鍵

很多人將原因歸咎於紙製吸管比較軟，然而真相恐怕並非如此。紙浸了水後的確會變軟，但還沒插進杯裡的紙吸管其實是硬的，甚至比塑膠吸管硬多了。最主要的原因還是在於形狀，紙吸管的切面是橢圓，而不像塑膠吸管一樣有個尖尾。

紙吸管經常插到爛掉都插不進去

為什麼紙吸管的切面是橢圓形呢？

相較於塑膠，紙的彈性沒那麼大，被裁刀重重一壓就扁了，回復不了圓柱狀，除了造型不好看，恐怕壓扁的吸管也不好用。因此，紙吸管的生產過程是在不變形的情況下鋸斷，或是使用雷射切割，故其截面接近我們課本所說的橢圓。因為沒有「尖端」，所以非常難插。(影片中可看到鋸斷紙吸管的製作過程 https://youtu.be/zrhT3go7dZo )

在此有個小建議，讀者以後拿到紙吸管，先不要急著插，先用剪刀剪一下，就會好插很多；而使用紙吸管的飲料店，也可以在櫃枱準備把剪刀和方格紙，平時沒事剪剪吸管順便畫三角函數，要衛生一點的話就讓顧客自己剪，方便、省錢、環保還可以學數學，可說是一舉數得啊！