張貼日期：Jul 26, 2020 2:55:33 PM

你正要走入彩券行買大樂透；你正在煩惱要自選號還是電腦選號。突然，你旁邊出現一縷輕煙，一個老者憑空冒了出來。

「年輕人，來來來，老朽給您報個穩賺不賠的明牌。」你狐疑地看著他，只見他開始說起他的明牌，喔不，是投資計畫：

「老朽知道一個賭場，你就進去賭一把，贏了就收手，輸了用兩倍的錢再賭一把。這次一樣贏了就收手，輸了用四倍的錢再賭一把。就這樣一直賭一直賭，賭贏的那一次，贏的錢一定比之前輸的錢還要多，所以這是穩賺不賠的生意啊！」

「老朽不會騙你的，這生意千載難逢，比樂透好賺多了！孩子，你就把那買樂透的錢給我，我們一起賺一票吧！」

你看著他。你覺得哪裡怪怪的。

穩賺不賠

首先要說明的是，這真的是穩賺不賠的生意沒錯。為了方便解釋，就假設第一次我們拿 $1去賭，賭贏拿兩倍的錢。這樣的話：

1. 賭第一次要付 $1，如果第一次就賭贏，拿到 $2，扣掉成本後賺 $1。

2. 如果第一次賭輸，賭第二次要多付 $2；如果第二次賭贏了，拿到 $4，扣掉成本 ($1+$2) 後賺 $1。

3. 如果第二次還賭輸，賭第三次要多付 $4；如果第三次賭贏了，拿到 $8，扣掉成本 ($1+$2+$4) 後賺 $1。

你稍微想了一下，發現不管是在第幾輪贏，都是篤定會賺 $1。看起來好像沒什麼問題啊！

於是你伸手掏出你的錢包，正要拿出鈔票…等等，我該拿多少錢出來？

無限大的成本

就假設每次賭贏的機率是 0.5（也就是一半）好了。這樣的話：

1. 只需要賭一次的機率是 0.5（也就是第一次就贏的機率），總成本 $1。

2. 只需要賭兩次的機率是 0.5²（也就是第一次輸，第二次贏），總成本 $1+$2。

3. 只需要賭三次的機率是 0.5² x 0.5 （就是前兩次輸，第三次贏），總成本 $1+$2+$4。

依此類推，你列了一下式子，你預期要付出的成本會是：

Ｓ＝0.5 x $1 + 0.5 x 0.5 x ($1+$2) + 0.5² x 0.5 x ($1+$2+$4) + …

這式子有點煩，為了讓它乾淨一點，我們就把和 $1 有關的全部寫在一起，和 $2有關的全部寫在一起，依此類推。這樣的話，就變成：

這…這不是無限大嗎？你跟我講說這個穩賺不賠的明牌，預計要無限大的資金投入？

你正抬頭要質問對方時，發現對方已經在一縷輕煙中消失了。旁邊在自選號的朋友說，他在你開始算算式時就落跑了。

「他最近天天都來，靠他的那套聖彼得堡悖論誘拐搶騙，但只要發現對方會算機率跟期望值就會立刻落跑。」這位朋友說。

於是你今天學到了，天下沒有白吃的午餐，就算是聖彼得堡也沒有。如果有，那你八成需要無限多的銀彈，而如果你有，你大概也不會需要來買樂透了。