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張貼日期：Jun 03, 2020 4:34:22 AM
作者：高竹嵐 副教授（國立陽明交通大學統計研究所）
愛與資訊
故事要從去年底說起。之前我在音樂劇工作坊時的恩師，台大戲劇的吳政翰老師，臉書私訊我。我跪著打開訊息：
『我在翻譯一個劇本，有個名詞想請教你…什麼是哥德爾不完備定理啊？』
『啥鬼，劇本裡有哥德爾不完備定理！？』
這個劇本是Caryl Churchill的劇本『愛與資訊』（2012）。順道說明，Churchill老人家1938年生，到現在她都還在寫劇本（跪）。
然後看完演出後發現，這劇本裡別說有哥德爾了（雖然只有點到為止），還有圖靈測試，還有自由意志的哲學論辯，連因為根號２而被人推下海的故事都進去了．．．誰說文組就不能涉足各種科學概念？
更何況，不止編劇要懂，演員也得懂，總不能唸一句自己也不知道在講什麼的台詞，這觀眾肯定是看得出來的。在此為辛苦去理解這各種概念的演員們一鞠躬。
再次印證戲劇作為一種跨學科交流平台的可能性，我們透過同一個空間，討論各種可能。
※
只有對與錯的世界
回到最前面的故事，我聽到要解釋哥德爾不完備定理的時候抖了好多下。這玩意有夠難講的啊！（以下高能預備）
讓我們先從對錯開始說吧！是的，對與錯。
首先必須理解到，數學裡一個數學敘述要嘛對，要嘛錯，沒有中間可能。數學中，不存在像這樣的句子：
『這句話是錯的。』
上面這句話不對也不錯。如果它是對的，那這句話就是錯的；而如果它是錯的，這句話就得是對的。所以它不能對也不能錯。
先記得，對於一個數學體系裡，我們不允許存在像上面這樣的句子。每個數學敘述，非對即錯，沒有中間可能。
※
歌德爾不完備定理
所以數學裡凡是非對即錯。那進一步的問題就是，所有對的敘述，我們都能證明它嗎？
這邊要解釋一下證明是什麼意思。每個數學系統都有所謂的公理，例如歐氏幾何的平行公理（兩平行線永不相交），皮亞諾公理中的後繼元素（每個自然數都會接一個自然數），總之是一些我們先決假設為真的敘述。
我們說一個敘述能被證明，表示我們可以從這些公理開始，透過一系列的邏輯運算，推出這個敘述是對的。
而如果一個數學系統裡面所有的敘述都能被證明，我們便說這個數學系統是完備的。所以問題就是：
我們的數學系統，是完備的嗎？
會不會根本有些東西，我們就是證明不了？
這問題重大到被列進希爾伯特問題裡，而當然，大家都希望，我們的數學系統是完備的，所有問題，只要給我們夠多時間，我們一定證的出來。
然後，哥德爾出現了。『抱歉，它不完備。』
哥德爾論證的『大概念』其實很簡單。記得之前那個這句話是錯的嗎？我們考慮一個類似的敘述：
『這句話不能被證明。』
這句話是對還是錯啊？
如果它是錯的，這句話就能被證明。既然它能被證明，那它就必須要是對的。但這樣一來，它就不能被證明。矛盾！
所以它必須是對的（因為數學系統裡非對即錯），但既然它是對的，那．．．這句話就不能被證明．．．
是的，你於是得到了一句對的敘述，但任何人無法證明它。換言之，你的數學系統，不是完備的。
以上是哥德爾證明的『大概念』，但此處有一個大問題：
『這句話不能被證明』不算是一句數學敘述！
所以哥德爾做的事情基本上如下：
如果你的數學系統裡包含自然數跟加減乘除，
我就能寫出一條數學敘述，它等價於『這句話不能被證明』！
講簡單一點，哥德爾用1234跟加減乘除，寫出『這句話不能被證明』這句話。
※
好，所以你告訴我，有些問題不能被證明…但如果這些不能被證明的，都是一些奇奇怪怪的，我們八輩子不會去碰的問題，那應該就…還好吧？
偏偏事情就不是這樣。舉例來說，數論中的Goodstein’s Theorem, 以及我們之前提過的連續統假設，都被證明出『不可被證明』，而這些都是真實有人在研究的問題。換言之，我們在討論的，可不是那些奇奇怪怪的罕見問題，很可能就是你眼前正在研究的問題啊！
一時之間，研究黎曼猜想的人要抖一下，研究哥德巴赫猜想的人要抖一下，研究各種未解問題的人都要抖一下，每天上工之前記得燒香拜佛，祈禱自己不會窮盡畢生精力，研究一個其實不可能被證明的題目…
以上是對哥德爾不完備定理的簡介。有興趣的人，這裡有更詳盡的兩部影片：
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