張貼日期：Oct 30, 2019 10:26:22 AM

［前言］

本篇絕對不是因為票房還是不好，臉書想打宣傳，卻又被某高雄市長（？）在有與沒有之間的追蹤器新聞蓋台，一怒之下只好來寫專欄。但還是一如往常的先來業配一下我票房依然慘淡的演出活動，11/1-3有個阿卡貝拉的演出［想聽現場請按這邊］：

［回到正題］

集合比大小

要說明這個什麼鬼連續統的，我們要先從怎麼比大小開始；正確地說是，怎麼比兩個集合的大小。

為了方便解釋起見，就假設你今天有個兩個班級，向日葵小班（Ａ）和玫瑰大班（Ｂ）。你想知道哪個班級的人比較多，但不知道為什麼，你沒有點名單也不知道什麼叫做數人頭。這樣的狀況下，你還有任何辦法可以知道哪個班級人比較多嗎？

有的。有個很簡單的方法：去叫每一個玫瑰大班的同學，都去找一個向日葵小班的同學牽手，一個牽一個：

1. 如果每個大班的同學都牽到手了，那小班的人至少要跟大班一樣多；

2. 如果每個小班的人都被牽到手了，那大班的人至少要跟小班一樣多；

3. 如果兩個班的所有人都牽到手了，那就表示兩個班人數一樣多。

用這方法，你甚至不用會數 123，就可以比大小唷！

如果用數學語言，看起來就會像這樣。假設有兩個集合 A 跟 B，然後考慮一種叫做「牽手關係」的「函數」：

l 如果存在一個從 B 映射到 A 的函數 f，那 A 至少要跟 B 一樣多，

因為每個 B 班的同學 b 都和 A 班裡的 f(b) 同學牽到手了。

l 如果存在一個從 A 映射到 B 的函數 g，那 B 至少要跟 A 一樣多，

因為每個 A 班的同學 a 都和 B 班裡的 g(a) 同學牽到手了。

l 如果 A 和 B 之間存在一對一且映成的函數，則 A 和 B 一樣多。

十九世紀末，德國數學家康托 (Georg Cantor) 抓住兩兩配對牽手這個很直觀的概念，發展出上述數學語言來比較兩個集合的大小關係。

到此為止，都還算自然，對吧？

但這樣一來，偶數就會跟正整數一樣多

什麼！？偶數的個數不是應該是正整數的一半而已嗎？

這就是違反直覺的地方了。首先呢！偶數跟正整數的個數都是一直數下去也數不完，我們稱其數量是無限（infinity），「無限的兩倍多是什麼東西？」，這就有待商榷。

神奇的是，康托利用牽手概念能夠證明它們兩個真的是一樣多：讓我們把每個偶數 2n 都去跟正整數 n 牽手，如下圖。

l 每個偶數都有一個正整數跟它牽嗎？有，每個 2n 都會被 n 牽。

l 每個正整數都有一個偶數跟它牽嗎？有，每個 n 都會被 2n 牽。

所以照上面的定義，偶數就會跟正整數一樣多！！

事實上，用同樣的方法，你可以證明所有平方數、所有質數，甚至是所有有理數，都跟正整數一樣多！

這些傢伙，數學家統一稱它們叫「可 數(ㄕㄨˇ) 多（Countable）」。概念是，既然你們班跟正整數一樣多，那就表示你們班會有一個人去和 1 牽手，一個去和 2 牽手，依此類推。這樣我就可以把你們班的所有人編號，你跟誰牽手，就編成第幾號，於是每個人都「可以數是第幾個」。

順道一題，活用以上概念，你甚至可以把一家擁有無限多個房間但目前已經客滿的旅館再塞進一個人唷！詳見以下這段有趣的影片介紹著名的希爾伯特旅館：

那有不可數的集合嗎？

到這裡你可能會懷疑，是不是所有的無窮集合都可以用同樣的方法來一個一個數(可數多)呢？

並沒有！

以下我們來證明，介於 0 到 1 裡的所有數字，不是可數多的，稱為「不 可 數(ㄕㄨˇ) 多 (uncountable)」；換言之，這個集合裡的數字，比正整數還要多。

證明有以下幾個步驟：

1. 首先，每個 0 到 1 之間的數字，勢必可以寫成 0.xxxxxx，例如 0.93217 之類的。

可能會寫成一個無窮小數，但沒有關係。

2. 假設 0 到 1 之間的數字是「可數多的」，然後推論這個假設是錯的。

如果如假設所說，照前面的說明，我們就一定可以從裡面挑出跟 1 牽手的 1 號同學，跟 2 牽手的 2 號同學，依此類推 (暫且把這時數到的號碼稱為「學號」)，把整個「0 到 1」班級照他們的學號排成一排。

「0到1」班級學號對照表

3. 讓我們來想想這一個人Ｘ，他的數字有點奇特：

小數點下第1位數字，跟第1號同學的小數點下第1位數字不一樣；

小數點下第2位數字，跟第2號同學的小數點下第2位數字不一樣；

小數點下第3位數字，跟第3號同學的小數點下第3位數字不一樣；

……這個規則一直持續下去。舉例來說，

X = 0.3462……

這時，弔詭的事情出現了！這個 X 到底是不是「0 到 1」班上的學生呢？

l 首先，他顯然在 0 到 1 之間，所以應該是班上的同學。

l 可是如果是班上的同學，他應該會有個學號。但是他

不可能是 1 號同學（因為小數點下第 1 位跟 1 號同學不一樣），

不可能是 2 號同學（因為小數點下第 2 位跟 2 號同學不一樣），

…… 然後你就發現，完全沒有任何一個學號可以給這位 X 同學！

這…這又不是韓市長的追蹤器，怎麼可能同時是又不是一個班上的同學？!

所以唯一可能就是，原本的假設是錯的！「0到1」班級，並不是可數多！證明完畢。

連續統假設 – 希爾伯特第一問題

至此，我們知道［無限大 (Infinity) 至少有兩種］，一種像「正整數」大小，一種像「0 到 1 間的實數」大小。

一個很自然的問題是「有介於中間的無限嗎？」

換言之，「在這兩種大小之間，有連續的大小（統）嗎？」，這就是著名的連續統假設。

鼎鼎大名的數學家希爾伯特 (David Hilbert) 在 1900 年，將之列為他的 23 個問題中的第一個，可見這個問題備受重視。很多大師都曾經嘗試著想要回答「有」或者「沒有」，舉例來說，證明前面「0 到 1 班級不可數」的大師康托，就一直相信介於中間的集合是不存在的，但始終無法明確的向全世界數學家大聲說出「沒有這樣的無限大啊!!!」。

這也無可厚非，因為這個問題，有一個比「有」或「沒有」更悲戚的答案。

介於「有」和「沒有」之間的答案

1940 年，證出不完備性定理的哥德爾 (Kurt Friedrich Gödel) 指出，

在目前常見的數學 ZFC 公理系統下，你沒有辦法證明連續統假設是錯的。

1963 年，寇恩 (Paul Joseph Cohen) 進一步指出，

在 ZFC 公理系統下，你也沒辦法證明連續統假設是對的。

寇恩的研究成果也為他贏得了 1966 年的費爾茲獎。這一個左鉤拳一個右鉤拳，直接把之前努力證明或否證連續統假設的人都打趴在地，因為他們證明「你們再怎麼樣都是不可能證明的。」

注意，他們並沒有說連續統假設是對的還是錯的。他們只說，任何人都沒有辦法透過從公理系統開始的一系列推論，去證明連續統假設是對的還是錯的。它終究有個對錯，老天知道，但老天沒有給我們推論出真相的可能性。

聽起來超弔詭的，但即使在數學裡面，還是有這種介於對錯之間的東西。它有個對錯，但你證不出來，不管過了幾代人，都不可能證出來。

所以看來，一個在有與沒有之間的追蹤器，可能也沒什麼好大驚小怪的。

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2019【大城小肆】音樂劇節：A劇團親子阿卡貝拉音樂劇《阿卡的兒歌大冒險》

【演出時間】

2019 年 11 月 1 日 19:30

2019 年 11 月 2 日至 11 月 3 日 10:30

2019 年 11 月 2 日至 11 月 3 日 14:30

【演出地點】松山文創園區 多功能展演廳