張貼日期：Jul 23, 2018 3:56:36 PM

圖片取自《嚦咕嚦咕新年財》電影劇照

麻將胡牌的演算法

一個人會不會打麻將有一項基本的判斷方法，「能夠判斷是否胡牌」。在實戰中，判斷的速度越快越好，如此才能在取捨牌的時候，很快的知道打哪張牌聽的牌比較好，也不會因為停下來比畫思考被看穿手裡擁有的牌型。

要知道聽什麼牌，最快的方式是背起來。常打麻將的人，腦中自然背了不少牌型，常見牌型瞬間就能判斷，除非拿了許多同花色的牌才會造成困擾。

電腦程式如何判斷聽牌？

要判斷聽牌，得先知道胡牌的牌型，如同要準備晚餐的食材之前，得先知道晚餐想吃什麼。

一般都是刪除「一刻 (3 張相同牌) 」或「一順 (3 張連續牌)」，也就是所謂的「搭子」，再利用〈遞迴〉程序處理。這樣做的效率並不太優，雖然判斷一副牌還是瞬間完成，但若要判斷十萬副牌局，效率好壞造成的影響非常之大。

2017年，威廉斯堡大學數學系的李志光教授等人發表了一項麻將研究，論文中提出了一套高效率的判斷胡牌演算法，以下版本由筆者修改呈現。

定理1：一副牌 P，若把一個對子 (俗稱眼睛) 拿掉後，假設此時數字最小的牌是 x，

· 若 x 的張數是 3 張以上，則拿掉 3 張 x (一刻)後，剩下牌為 Q。

· 否則拿掉 x, x+1, x+2 (一順)之後，剩下的牌為Q。(若無法拿，則 P 沒胡)

則「P 胡」若且唯若「 Q 胡」。

舉個例子說明：

例1：判斷 P = 33345678 是否胡牌？

P 中唯一能當眼睛的地方，就是 3，因此把 33 一對眼睛拿掉，變成 Q = 345678，Q 是胡牌型，所以 P 也是。

例2：判斷 P = 55666777889 是否胡牌？

其中 55, 66, 77, 88 都可以當眼睛，每種情況都試一次。

· 若 55 當眼，剩下 666777889；最小的 6 有三張，直接拿掉666，剩 777889，再拿 777，得 889，所以沒胡。

· 若 66 當眼，剩下 556777889；最小的是兩張 5，但沒有辦法拿掉兩個 567 了，所以沒胡。

· 若 77 當眼，剩下 556667889；最小的是兩張 5，但沒有辦法拿掉兩個 567 了，所以沒胡。

各種能拿掉眼睛的方式都試過，都無法胡，所以 P 不是胡牌型。

這樣做的好處

只要拿掉一副牌的眼睛後，就可以一路由最小的牌取到最大的牌，依序檢驗，「線性時間」即可判斷是否胡牌，避免來來去去的反覆嘗試，省下非常多的計算時間。

已經學會胡牌型之後，判斷聽牌就簡單了。

只要試著加入任何一張牌，再嘗試拿掉各種可能的眼睛，利用 定理1 判斷是否可以胡牌即可得知聽哪些牌，僅需要 O(n³ ) 的時間。

例3：判斷 3456667888 聽什麼牌？

· 加入1，剩 13 開頭，沒胡

· 加入2，

o 拿掉 66，剩 234567888，胡!!!

o 拿掉 88，剩 234566678，沒胡

· 加入3，

o 拿掉 33，剩 456667888，沒胡

o 拿掉 66 或 88，剩 334 開頭，沒胡

· 加入4，

o 拿掉 44，剩 35 開頭，沒胡

o 拿掉 66 或 88，剩 3445 開頭，沒胡

· 加入5，略，胡

· 加入6，略，胡

· 加入7，略，胡

· 加入8，略，胡

· 加入9，略，胡

上述方法雖然是電腦的判斷方式，但其實人腦判斷，也是相同道理，先把可能的眼睛拿出來，然後最小牌能拿走一刻即拿走一刻，否則試著拿走一順，由於人腦很強大，會自動省略一些無關緊要的判斷步驟，因此執行速度並不會太慢。

奴役電腦幫你辦事

有了快速判斷聽牌、胡牌的方法後，就可以開開心心奴役電腦幫我們做一些血汗計算了。

李志希教授的電腦幫忙跑了所有的情況，發現十三張麻將除了〈國士無雙，俗稱十三么〉可以聽十三張牌之外

聽九個洞的情況只有一種 1112345678999，俗稱〈九連寶燈〉。

聽八個洞的情況有 16 種；

聽七個洞的情況有 79 種。

筆者自己也計算了台灣麻將十六張的情況：

聽九個洞的情況有 11 種，有 1122233345678999、1112345667788999、1112345666777888、1112345566778999、1112344556678999，或是上述平移、對稱的牌型。

聽八洞的情況有 94 種；

聽七個洞的則有 532 種。

眼睛的判斷

李教授的方法告訴我們判斷胡牌與否，先找出眼睛會比較快。一旦眼睛的選擇多，事情就變得越複雜，電腦當然沒問題，但人腦判斷可能稍微慢了一點。此時，數學可以派上用場。

方法是這樣的，先只看同個花色，把所有的牌分成３堆：(一四七)堆，(二五八)堆，(三六九)堆，接著觀察每堆的張數。

例如上面的牌型，其中三六九牌共 7 張，二五八牌共 6 張，一四七牌共 4 張。

這樣一眼就知道沒有胡牌！

這樣一眼就知道沒有胡牌！

這樣一眼就知道沒有胡牌！

完全不用去試。

什麼！！！為什麼可以這麼快？因為我有獨門秘技！

獨門秘技

若要胡牌的話，要抓成三個三個一組的搭子再搭配一對眼睛，

搭子若是「順」，貢獻這三堆的個數必同時都加 1；

搭子若是「刻」，則某一堆會加 3。

因此，若先不看眼睛，這三堆的牌數除以 3 的餘數應該要相等。再加上眼睛，就只會讓某一堆個數與其他兩堆不同。

以上例來說，三堆的張數分別為 7, 6, 4 張，除以 3 的餘數為 1, 0, 1，於是，眼睛只有可能出現在第二堆，也就是二五八。若 55 拿掉，前半的 33344 無法湊成兩搭，因此沒胡；若 88 拿掉，依 定理1，333 也可以拿掉，剩下的局部44556 也無法湊成兩搭，所以也無法胡牌。

我們再將這個結果寫成定理 (沒辦法，數學家就是喜歡這樣XD)

定理2：一副牌，依一四七、二五八、三六九分成三堆，每堆的張數除以三的餘數必有一個與另兩個不同，則眼睛就在不同的那堆裡。

回到古天樂手上拿的牌型來說：23333444455556666 是否胡牌呢？

因為一四七有 4 張，二五八有 5 張，三六九有 8 張，除以 3 分別餘 1, 2, 2，所以眼睛只可能是 44，接著把 44 拿掉，剩下 233334455556666，然後利用 定理1 依序去拿，得到 234, 333, 456, 555, 666 ，所以是胡牌型。

有了 定理2，判斷胡牌時眼睛的可能性，可縮減到一堆，檢驗至多三次，大幅提升計算效率。

當整副牌同時有萬、筒、條、字的時候，因為眼睛只會在其中一種花色，因此其它花色一定都是 3 的倍數，利用張數就可以推判眼睛在哪個花色，所以只要能判斷其中一種花色即可。

假想一個更困難的例子，每張牌可以超過 4 張的話，

· 請問：33333444555566777888899999 有沒有胡牌？

三六九，共 12 張，除以 3 餘 0；

一四七，共 6 張，除以 3 餘 0；

二五八，共 8 張，除以 3 餘 2，

所以若能胡牌的話，眼睛必是 55 或 88：

假設是55，利用 定理1，由小到大拿成333, 345, 345後剩 466777888899999，而 4 的後面斷了，所以沒有胡。

假設是88，利用 定理1，由小到大拿成333, 345, 345, 456, 567, 789, 789, 999，胡牌。

參考資料

1. Yuan Cheng, Chi-Kwong Li and Sharon H. Li, Mathematical aspect of the combinatorial game "Mahjong", arXiv:1707.07345v1