張貼日期：June 28, 2025 

所謂質數就是除了 1 和本身之外無法被其它正整數整除的數，例如：2, 3, 5, 7, 11,...。代數中，一條很重要的定理說「任何大於 1 的整數都可以唯一表示成一些質數的乘積。」感覺質數之於整數的地位，就好像是原色之於所有色彩。

想像一下，當你對五十個人說出「紅色」這個詞，可以想見他們腦中會浮現五十種紅色，而且幾乎能確定的是沒有一種紅色是一樣的。關於「數學的美」，我想也差不多。我非常喜歡數學家保羅艾狄胥（Paul Erdős）的一段話：

「就好像你問貝多芬的第九號交響曲美妙在哪，如果你聽不出來為什麼它美，那也沒有人可以告訴你。我知道數字很美，如果它們不美的話，沒有事物稱得上美了。」

完美數 

在很久很久以前，有一類數被古希臘數學家認為很美好，它們可以寫成自己所有正因數(除了自己)的和，這樣的數就稱為「完美數（perfect numbers）」。例如 6 的正因數有 1, 2, 3, 6，剛好 1+2+3=6；28 的正因數有 1, 2, 4, 7, 14, 28，剛好 1+2+4+7+14=28。6 與 28 是完美數界的「經典之選」，所以每年的 6 月 28 日被數學界戲稱為「完美日 perfect day」。

用圖來表現完美數的直觀

from 維基百科

不難自己動手驗證最小的完美數是 6 ，順帶一題，這也是我自從大學系籃開始至今愛用的球衣號碼，期望每一次上場都能有完美表現，不過，you know，還是經常失誤，有時連罰球也投不進。

前幾天(2017.12.26)，史上最大完美數被發現了，不過，我的電腦螢幕空間太小，所以我無法寫下來。(我打賭費馬三百多年前的梗就算再過三百年還是會有人用 XD ) 不過，這裡我說的空間太小寫不下來是認真的，等一下你就知道要一一寫下每個位置的數值是多麼巨大的工程，連用嘴巴唸一遍你都會嫌麻煩。如果你不介意我偷懶，倒是可以寫成這種形式

277232916(277232917－1)。

外表看起來有點醜陋的它，內心是完美的。真的，我保證它是完美數。你可能依然不相信。

不過，也由不得你不信，數學家總是這個樣子。很久很久以前，數學界的大前輩歐幾里得心裡的完美數就清清楚楚了。

「只要 2n -1 是質數，那麼 2n-1(2n－1) 就是完美數。」

從現代數學的眼光來看，這倒是只需要一點點因倍數和等比級數的數學觀念就夠了，請看下圖說明。

歐幾里得在大約2300年前就知道這種事也太令人佩服了啊！一千多年以後，另一位超人級的數學家歐拉，提出更進一步的結論：

「所有偶數的完美數都必然長這個形式 2n-1(2n－1)。」

截至目前為止，這世界上沒有人知道，是不是有無窮多個完美數（基於讓這個世界更完美一點的想法，我希望完美數是無窮多的）；同時，也還沒有任何一個人曾經見過奇數的完美數，如果你捕捉到哪一個，請一定要帶我一起去見證。

超級質數任務 

話說回來，具備這種型式 2n－1 的質數有個特別的名稱，叫做 Mersenne Primes 梅森質數。顧名思義，這是為了紀念17 世紀專門研究這種數的一位法國僧侶 Marin Mersenne。這種型式的質數，其實並不常見，截至目前為止也才５2 個被發現，其中的１9 個是由 GIMPS 或藉由 GIMPS 提供的程式找到。GIMPS 也發下豪語，提出高達 150,000 美金（約台幣四百多萬）的獎勵，看誰能先找到超過一億位數的超級質數！

不曉得挖比特幣跟尋找一億位數超級質數哪個投資報酬率比較好呢？你準備好了沒。

 Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) 公布(截至2018.12.21)最大的質數為 282589933－1 ，這是一個 24,862,048 位數，距離一億位數的超級質數還有一大段距離，不過，儘管如此，GIMPS 仍是提供 3000 美元的獎金給發現者。

這個超級質數是住在佛羅里達的一位幸運兒找到的，這位35歲的年輕人名叫 Patrick Laroche，擅長電腦資訊，已經利用 GIMPS 所提供的軟體為自己的電腦進行效能測試好幾年，最近想到不能白白使用不付出，於是開始回饋 GIMPS，用自己的電腦幫忙尋找超級質數，沒想到才經過四個月，進行第四次搜尋時，就中獎了！真的非常幸運！

截至今天（2025 年 6 月），Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) 這個組織公布目前最大的質數 2136,279,841 －1，長達 41,024,320 位。這個超級數字到底有多大呢？打個比方，假設有一個全世界第一快嘴每秒鐘能夠讀 10 個數字，那麼即使他不吃不喝不笑不走路，把這個數從頭到尾讀一遍也得花上將近 50 天的時間。

由於偶數型完美數會伴隨著梅森質數出沒，史上最大的完美數也跟著換人做做看，變成是 

2136,279,840(2136,279,841 －1)

這個超級大質數是由 Luke Durant 在 2024 年 10 月 12 日挖掘出來的，至於要怎麼找到這麼大的質數，當然是少不了電腦，從經典的 282,589,933 －1 （2018 年 discovered by Patrick Laroche）一路到 2024 年的紀錄 2136,279,841 －1，每一次突破都由普通家用電腦完成，參與者很多是一般人，靠的是持續投入與耐心。有些 GIMPS 的資深成員，甚至已經歷時超過 20 年，搜尋超過上萬次都毫無發現。這也或許可以說明，尋找超級質數需要的不是很強大的電腦能力，時機對了，小人物上籃也能得到 2 分。