張貼日期：Nov 02, 2017 12:5:33 PM

有一種獎金普遍很高的遊戲稱為「樂透」，利用抽籤搖彩的不確定性，販售發財美夢給參與遊戲的人們。樂於此道的人不在少數，不過對於數學稍有感覺的人應該多是不為所動，或者至少像我一樣，偶一為之當作趣味。樂透的起源我不清楚，據說在中國元朝時期的一些寺廟就曾舉辦類似活動，目前全世界許多國家都有發行。

數日前我受邀前往中部一所國中演講，車程大約二三十分鐘，坐在前來接送的小黃哥汽車副駕，我得找些話題才不至於尷尬，我問他「你聽過有人專門開公司買樂透嗎?」，這是我演講內容的一部分，一邊開車一邊喝著珍奶的小黃哥一邊露出了咁有可能的表情。

你，覺得有可能嗎?

這本書涵蓋數學主題廣泛，深入淺出，非常推薦作為數學科普閱讀。

有!

一起 2005-2010 年間發生在美國麻州的樂透事件，一票人輕鬆賺走了大約 800 萬美金，從數學教授艾倫伯格撰寫 (李國偉研究員翻譯) 的《數學教你不犯錯》一書讀到這則勵志感人、溫馨發大財的故事的當下，除了不得不佩服這群腦筋動得快的聰明人，忍不住也在心裡吶喊人家也好想要中樂透啊~ 啊~ 啊~

讓我們先暫時冷靜一下，身為一位資深的數學宅，我推一下鏡框趕緊切換到數學模式用理性來分析這次事件。首先的疑問是，我們該用什麼數學進行分析呢?

在不確定之中我們能確定的事

根據我的經驗，機率應該是不二人選，這是一種專門用來處理類似樂透這種具有不確定性的數學工具，在台灣彩券公司發行的大樂透簽注單底下，也清楚地印著《本遊戲頭獎中獎機率理論值為一千三百九十八萬分之一，請勿過度投注》的警語。究竟，頭獎中獎機率理論值為一千三百九十八萬分之一代表何意，是一個人玩了一千三百九十八萬次之後保證會中頭獎，還是一千三百九十八萬張投注單保證中頭獎呢?

其實都不是!

頭獎機率一千三百九十八萬分之一指的是經過足夠多次開獎後每一組號碼出現頻率的最佳估計值，前提是足夠多次，而足夠多次在不同的事件當中所需要的次數也不同，打個比方，就像有人吃一個便當就飽，有人要吃八個便當才夠的道理一樣。投擲一枚公正的硬幣出現人頭的機率二分之一，指的是投擲足夠多次後人頭出現的頻率約佔全部的二分之一，足夠多可能只要幾千或者甚至幾百就能夠觀察出來，而中樂透頭獎的足夠多次可能就得進行高達以億兆萬計的等級。

影響人們要不要下注的決定因素除了機率大小，還有報酬高低。數學所說的

期望值=(機率X報酬)的總和

就綜合了這兩項要素。期望值代表的是經過足夠多次開獎後，每一次開獎每一組號碼預期報酬的平均值的最佳估計。簡單說，如果只有頭獎一億跟沒中獎兩種情況，一張彩券中獎的期望值等於一億乘以一千三百九十八萬分之一大約是 7 塊多，扣掉購買彩券的成本 50 元(也可視為沒中獎的期望值)之後，每張彩券的期望值是 -42 元左右，也就是長期下來買彩券的情況下，每一張彩券平均要付出的代價是 42 元。

一般來說，彩券都是處於負期望值的狀態，根據期望值理論，大致上可以說買一張平均賠 y 元買兩張賠 2y 元…依此類推，幾乎可以篤定的一點是你買越多就賠得越多。因此，我作為一位理性代言人(自以為)很少出手買樂透，只有在獎金累積夠高期望值變成正的，才有可能下手小試運氣兼做公益。

你心裡或許會疑問，期望值是正的，比如說 10 元，理論上買兩張賺 20，買 10 張就賺 100，買越多賺越多，我應該賺到翻了怎麼還有空坐在電腦前面發文。這裡要再次提醒讀者留意，期望值和機率的運作概念仰賴大數法則，數量足夠多的情況下比較有參考價值。比方說把鏡頭拉回到前一期魏澤人教授撰寫的《TED青蛙謎題的解答錯了》，如果你選擇往前去舔那隻青蛙，恰好是母蛙可以解你身體的毒的機率 1/2 的話，正常劇本下的結局還是只有兩種: ［你死了］或者［你活了］。

不會有什麼死了一半這種結果，當然你也不會變成薛丁格的貓那樣處於半死不活的死跟活的疊加態裡面。

麻州樂透如何被破解

話說回麻州樂透被破解一事，麻州樂透大抵遊戲規則跟一般熟知的樂透沒兩樣，只有一項特殊規則是當頭獎獎金累積超過 200 萬美元時，該期只要 6 個號碼中了 5 碼以上就能參與分享頭獎獎金，全部共有 46 個號碼的情況下，中頭獎機率從原本的 1/C(46,6) 四十六取六分之一，變成 241/C(46,6) 四十六取六分之兩百四十一，提高了 241 倍，中頭獎機率一口氣從大約一千萬分之一提高到四萬分之一，等於每張售價 2 美元彩券的期望值高達將近 50 美元。

From New York Times

MIT 一群學生看準這一點，在事件發生的六年期間內，只要遇到獎金累積超過兩百萬的日子，就翹課翹班集資瘋狂的購買彩券，後來甚至成立公司聘工讀生專門去各投注站下注。根據紐約時報 2012 年的報導，這群來自 MIT 的學生們在六年期間內共賺走了八百萬美金，相當於台幣兩億四千多萬元。這種利用數學破解賭局來獲利的案例，對於 MIT 來說倒也不是第一次發生，之前電影《決勝21點》就是改編自 MIT 21點團隊攻克各大賭場的真人真事。

有意思的是紐約時報將這條新聞歸類在犯罪新聞底下(Crime News)，故事的結局卻沒有人因為詐欺罪被抓去關，原因是調查發現樂透公司早就注意到他們的行為卻沒有舉發，因此算不上利用他人無知詐取錢財，也就沒有詐欺事實。

至於為什麼樂透公司發現了卻不報警處理? 啊哈! 憑藉抽取手續費賺錢的樂透公司又有甚麼理由要禁止他們贏走本來就不屬於樂透公司的錢呢?

如何投注才能排除運氣因素

故事在此皆大歡喜告一段落，不過細心的讀者可能會發現，還有一個謎題未解:

期望值即使是正的情況下，終究中頭獎號碼還是上帝在操控，這群學生要如何排除機率的不確定性因素(所謂的運氣)進而保證獲利呢? 請閉起你的眼睛試著想一下這個虛擬賭局。

投擲一枚公正骰子，如果六個號碼中任意下一注花費 1 元，猜對的話可以得到 10 元獎金的情況下，你要怎麼玩這個遊戲 (期望值為正的) ?

是我的話就會選擇每個號碼都下賭注，如此一來不管上帝之手偏向幾號，總是保證可以賺到 4 元，運氣的影響就消失了。

話雖如此，如果要在麻州樂透共有約一千萬組號碼中每一組號碼都下注的話，先不論時間多寡，資金可是要耗費高達兩千萬美元啊。

關鍵的地方還是要靠數學!

1850 年英國有一位教會學校的校長柯克曼，在《The Lady's and Gentleman's Diary》雜誌上提出了一道題目: 15 位女學生外出時，三人分為一組同行，為了避免喧嘩吵鬧須遵守一個規定，分在同一組的兩人不可以在其他天又同組，一個禮拜的七天內是否有辦法為她們適當安排外出的分組呢?

柯克曼當時刊出的雜誌頁面

這道被後人稱為《柯克曼的十五個女學生問題》的難題，後來演變成組合學領域的一個分支－組合設計 Combinatorial Designs 的起源。十五個女學生問題有三個重要參數(15, 3, 2)，分別是總人數 n、幾人一組的 k、以及限制在多少人 t 之上，滿足這些條件的分組安排便稱為一個 (n, k, t)-設計。(15, 3, 2)-設計確實被建構出來了，不過和所有科學家一樣，組合學家仍不以此滿足，關心的是一般的 (n, k, t) 是否都存在設計，一個更遠大的目標。

這裡所謂一般的 (n, k , t) 指的是排除一些總人數 n 不能適當安排的顯然例子。例如 (6, 3, 2) 的 6 明顯不符合規定，原因是假設 A 已經和 B、C 兩人分在同一組，那麼 A 必須和剩下的三人恰好分在同一組一次是不可能了。

柯克曼 15 個女學生問題的一種解答

「一般的 (n, k, t) 是否都存在設計」這道難題傲氣地堅持了一百多年屹立不倒，直到 1970 年代，這個組合設計領域最重要的問題才有了突破，Richard Wilson 教授所解決的 t=2 情況，為組合設計立下一座指標性的里程碑:

對於任意 n 和 k, 幾乎所有 (n, k, 2)-設計都存在。

Wilson 教授 2012 年拜訪中研院數學所時合影，中間是他的夫人，左邊讓你猜

組合設計領域重大突破的 2015 年

之後又過了將近半個世紀，由於企圖處理的是一個具有普遍性的論述，以至於幾無進展，甚至根本沒有人認為可以一次解決所有的情況，直到前兩年才由組合學家 Peter Keevash 教授提出了針對任意參數的證明，一舉解決了一百多年來組合設計領域最根本且最重要的問題。這份奠定基礎的重要工作引起組合學界極大的關注，就連菲爾茲獎得主高爾斯 (Timothy Gowers) 也盛讚不已。

Keevash 的結果是:

對於任意參數 t 和 k, 所有滿足自然必要條件的那些 n 都存在設計，只有有限多個例外。

更精確的說，他提出了一套方法，只要人數 n 足夠大，且滿足自然的必要條件前提下就一定可以在有限次的操作中，找到符合的組合設計。只是目前為止，沒人知道 n 要多大才夠，也不曉得所謂有限次的操作實際需要執行多久。看起來組合學家在這問題上還有得忙呢。

Peter Keevash

(From www.quantamagazine.org)

數學教你該如何下注比較有利

說了這麼多，到底 (n, k, t)-設計跟提高中獎的機率又有何關聯?

讓我們想想 (46, 6, 5)-設計。在這個設計之中，任意 5 碼都恰好出現一次，因此若不是某注中了 6 碼，就是把所有中 5 碼的組合都包辦了。

透過計算不難知道 (46, 6, 5)-設計的組數(如果存在的話)遠小於一千三百九十八萬組，如此便大幅降低了需要包牌的資金。

每次見到他都臉紅紅的亞利桑那州立大學的組合學專家 Charles Colbourn 接受媒體 Quanta Magazine 訪問時表示，目前學界並不知道如何建構 (46, 6, 5)-設計。不過，要保證中獎並不非得滿足設計中「恰好出現一次」的嚴格要求，可以放寬為「出現至少一次」即可，如此一來，就有許多演算法可以建構，只是需要用到多一些的組數來彌補重複出現造成的浪費。

Charles Colbourn

台灣也有一些網站提供所謂「智慧包牌」的服務，例如這個樂透研究院網站，裡面說的［中六保四］就是指挑選的若干號碼之中如果幸運中了六碼，則依此包牌去購買彩券的話，保證有某一注中四碼，甚至更多。《數學教你不犯錯》的作者艾倫伯格猜測 MIT 的學生們可能就是利用某種演算的策略進行包牌，提高中獎機率，穩穩鎖住獲利。

行文至此，心頭湧上一股「要是台灣的樂透也有類似規則該有多好啊」的念頭，真有這麼一天的話，我就來號召全台灣學過機率與期望值卻覺得好像沒甚麼用的高中生集資買樂透，進行一堂數學理論與實踐課程。希望台灣彩券公司高層有聽到我的呼喊 XD

至於那些數學無用論的死硬派聽著，看!人家數學用得多好啊。