影片截圖 from TED Talk

TED 教育中有許多有趣的影片，其中還有一個值得思考的謎題系列。 但很不幸的，其中有一個關於青蛙的謎題，他解錯了！ 正因為 TED 的影響力很大，所以這個可能是 2016 年中，在數學教育中負面影響最大的事件。

先簡單說一下謎題內容（詳細請看上方影片 [1]）：

你在叢林裡面中毒了，只有舔一下母青蛙才能解毒。 但是公青蛙和母青蛙外觀無法分辨，

唯一的分別是公青蛙有一種獨特的叫聲而母青蛙不會叫。 你運氣不錯，前面正好有一隻青

蛙。當你正要往前去試試你 1/2 的運氣時，聽到後面有一聲公蛙獨特叫聲。你回頭一看，

看到兩隻青蛙。因為你中毒頗深，所以兩個方向只能選一個，你要往前還是往後，生還的

機會才會較大？

特別說明的是，公青蛙無毒，所以如果你往後走，可以同時舔兩隻。

當然，依照標準的數學機率題目慣例，你不用考慮什麼自然法則只允許一公一母，兩隻公青蛙在一定會打起來，邊緣人的性別比例，或追二蛙不得一蛙這些事情。 每隻青蛙在機率上都是獨立的。而且公蛙母蛙的機率一樣。

如果你還沒想過解答，可以先想一下。

TED 影片中的解答是這樣的

用 F 代表母, M 代表公。那因為我們知道後面的兩隻青蛙中，至少有一隻是公的，所以只有剩下 MM, FM, MF 三種可能性，依照條件機率，後面兩隻中有 F 的機率是 2/3。 所以你應該往後走。

這個答案，當然在心理上的感覺是很舒服的。 因為頗有三門問題的感覺，又用到了條件機率，外加又有那麼一點反直覺，簡直完美。 而且，兩隻中有母的機率本來是 3/4，因為叫聲扣一點分數，變成 2/3，也非常合理。

很可惜，像一開始說的，這個答案是錯的。

解答錯了的理由

簡單的說，把「聽到一聲公青蛙的叫聲」直接當成「至少有一隻公青蛙」是不對的。當然若「聽到一聲公青蛙的叫聲」則「至少有一隻公青蛙」，但是反過來「至少有一隻公青蛙」就會「聽到一聲公青蛙的叫聲」?

所以這會需要理由來說明。

先描述一個比較沒有爭議的情形。假設當青蛙在叫的時候，你正好看到了。

所以你知道是哪一隻在叫。 這時候，後面兩隻青蛙中，有母青蛙的機率是多少？

很明顯，你剩下一隻青蛙了。 如果你真的很想要舔那隻會叫的青蛙，我們絕對尊重。但你的生命取決於另外一隻的性別。 不管是前面後面，一樣都是一隻青蛙的機會。所以往前往後的生存機率一樣。

https://www.duckware.com/blog/the-ted-ed-frog-riddle-is-wrong/index.html

如果你同意上面這段，下面就是要論述，你也必須同意原題的機率往前往後一樣。我分成上中下不同的方式解釋。越前面的越能觸及問題的核心，但相對比較難懂。

• 上：

為什麼「看」到青蛙能分別兩隻，但是「聽」到青蛙不能分別？

當然，你看到他們時，因為他們沒有在叫，所以你分不出來哪一隻是剛才叫過的那一隻。但是反正你兩隻都要舔，機率上是不會變的。原來的問題等價於你一開始「看」到兩隻青蛙中有一隻叫了，你算出你生存的機率是 1/2。 然後你把兩隻青蛙洗牌洗亂，這時候你再算一次機率。難道這時變成 2/3？

• 中 :

假設你有個朋友在你旁邊也中毒了，但他看到哪隻青蛙叫，你沒看到。你們沒時間講話，因為忙著算機率。他算是兩邊一樣，你算出後面有 2/3 的生機。

你拉著他一起往後面走去共享那兩隻青蛙。 結果有 1/6 = 2/3-1/2 的機率你活下來而他死了？ 難道那兩隻是特務青蛙，而你朋友知道太多了？

• 中二：

你說，好吧，也許真實情形是 1/2。但從我已經有的資訊來看，我只能得到 2/3 的結論，因為我的資訊不完整，這就是條件機率啊。

可以回去看一下「上」。而且，你只要幻想一下有那個朋友，就能推出 1/2 的結果，所以你的資訊已經足夠。

• 下 :

我們實際上來算好了。 假設隨便抓一隻青蛙，在題目中的那段時間中會叫的機率是 p。

前面的那隻，因為沒有叫，所以有 0.5/(1-p) = 1/(2-2p) 的機率是母的。

後面那兩隻，「恰」有一隻會叫的機率是 2p(1-p)。 而一隻母一隻會叫的機率是 2 * p * 0.5 = p ， 所以其中一隻是母的條件機率同樣也是 1/(2-2p)。

如果有一定的機率是剛好兩隻同時叫，因而我們只聽到一聲，那機率會更小一點。

會不會只是題目解釋不同呢？

到這裡，很可能你理智上已經可以接受兩邊一樣了，但情感上還是無法否定 2/3 的那個解法。你可能會覺得，這也許只是題目文字解釋上的不同。情感上的原因之一是，很多所謂 1/2 派的人，其實是完全錯誤的，甚至連條件機率都不懂，根本只是看不懂 2/3 的解答。

但會不會只是題目解釋不同，因為取樣方式可能有不同解釋，就像 Bertrand paradox [2] 一樣？

以這題來說，不是的。因為從「聽到一個叫聲」到「至少一隻是公的」中間會有落差。 如果只看「下」的解釋，也許還能說只是取樣方式的問題。但因為有上和中的問題，所以你很難把「聽到一個叫聲」當成是「至少一隻是公的」。

你可以秤兩個銅板，知道比兩個真幣輕。

你可以因為燈沒亮，知道至少一個開關壞掉了。

你甚至可以看到兩隻青蛙站在葉子上面沒有沉下去，而兩隻母青蛙一定會沉下去。

但「叫」是「一隻」青蛙的動作。這個問題除了後面的「某一隻」叫了之外，還有前面的那隻沒有叫。

結論

理論上來說，生活經驗會與理論相同；但生活經驗上來說，理論和生活經驗不同。

大家都想讓數學題目更生活化更有趣，但現實生活往往比數學要複雜得多。 所以常常題目就會有些漏洞、不合理（像是不理會後面苦苦追趕的哥哥，堅持持續時速 7.5 公里往前走的弟弟； 在兩列火車中間折返跑的蒼蠅），或者題目變得又長又拗口。 就請大家多體諒一下出題者的辛苦囉！

問題：

如果不是聽到，而是聞到呢？

影片連結：

[1] https://www.youtube.com/watch?v=cpwSGsb-rTs

[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand_paradox_(probability)