【組合】除了總和等於2025之外，九九乘法表還有什麼有趣性質？

張貼日期：March 13, 2025 4:10:15 AM

今年開始之初，網路上流傳不少有關2025這個數字的有趣性質。陳明璋老師最早指出，把九九乘法表裡的數字加起來正好是2025。九九乘法表無非是一個數字盤，其實可以拿來做一些組合數學的操作，也許會浮現更多的趣味性質。我曾經注意到一個相當罕見的例子，想在這裡跟大家分享。

請看下面這兩張圖：

從哪裡找到這兩張九九乘法表呢？它們出現在一本韓國的古典數學書《九數略》的附錄《河洛變數》，該書約在1688年至1695年之間完成，作者是下圖中的高官崔錫鼎（최석정，1645─1715）。

崔錫鼎自幼世稱神童，後來成為一代名流之宗。這本《九數略》是用漢文書寫，所以我們現在能夠閱讀與理解。

《九數略》中有一張「九九子數變宮陽圖」，就是從九九乘法表經過「變宮」得來。所謂「宮」代表位置，因此「變宮」的作用在於移動乘法表中的各個數字。此圖用現代數字重繪於下：

現在我們用粗黑線把此表等分為3 x 3共 9 個區塊，使得每個區塊又剛好是一個3 x 3的九宮格。中間下方用紅色標出的區塊，恰好是中國傳統的洛書。再觀察九個區塊中間下方用粗體標出圈起的數字，它們恰好又構成一個洛書。另外，每個區塊的數字都是洛書的放大，而其倍數正好是該區塊的粗體數字。洛書是世界上最早的幻方（中國傳統所謂的縱橫圖），也就是說它的每行、每列以及兩主對角線上數字的總和都等於15。從上段觀察到的結構，可推導出「九九子數變宮陽圖」的每行、每列以及兩主對角線上數字的總和都等於15 x 15 = 225。那麼所有數字的總和就是15 x 15 x 9 = 45 x 45 = 2025。如此我們便理解了崔錫鼎所提供的圖說文字：
「縱衡二百二十五。共積二千二十五，經緯錯綜之妙不可其述。此圖分為九宮，即是洛書之數。」

崔錫鼎緊接著「九九子數變宮陽圖」，又畫出如下的「九九子數變宮陰圖」：

此圖如果以右上到左下的對角線作為軸線，則方陣的上左半與下右半是對稱的。此圖只有每行、每列的數字和都是225，兩條主對角線上數字的和並不相等。
崔錫鼎對此圖說明是：「共積上同。從衡皆得二百二十五數。右四圖（註：在兩張子圖之前還有兩張母圖）九九變數以上即倍加通乘之數。此圖即自本宮而一變者，自一至八十一為脊，左右分排，井井不紊。」

因為在九九子數圖中，如果 i 不等於 j，則 i x j 與 j x i 各出現一次，所以在滿足對稱的要求下，只有完全平方數會出現在右上到左下的對角線上。1 到 81 共有九個完全平方數，不過它們並沒有按順序由小排到大。其實九九子數變宮陰圖的行與列加以重排，可以得到下圖裡更加整齊的形式，使得所有完全平方數都依順序出現在對角線上。

崔錫鼎的九九子數圖本來是一個九九乘法表，經過數字位置重排後，成為一個滿足加法上行列有定和的性質，像這種連結乘法性質與加法性質的構型，在古代的數學裡十分罕見，因而也特別有趣。《河洛變數》這篇附錄裡，還有相當多從組合數學眼光看去，極富意義的創作，包括比歐拉（Leonhard Euler，1707─1783）更早造出來的希臘拉丁方陣（Graeco-Latin square）。感興趣的讀者可以從延伸閱讀的文獻裡，進一步瞭解我對崔錫鼎的解讀。

【延伸閱讀】

1. 李國偉：解讀崔錫鼎《九數略》中的九階方陣，《自然科學史研究》，2012年，第31卷，第1期，頁52-63。

2. Ko-Wei Lih, A remarkable Euler square before Euler, Mathematics Magazine, 83(2010), 163-167.

【歷史小註腳：「九九乘法表」溯源】

根據「里耶秦簡博物館」提供的說明（https://lyqjbwg.com.cn/view.php?id=934）：里耶秦簡「九九乘法口訣表」木牘，2002年出土于湖南省龍山縣里耶古城遺址一號井。因木牘上的乘法運算順序是從「九九八十一」開始的，再從左至右書寫排列，與現在從「一一得一」開始的運算順序有所區別，也因這個緣故這枚簡就被稱為「里耶秦簡九九乘法口訣表」，或者「里耶秦簡九九乘法表」。