張貼日期：Jul 13, 2015 2:55:44 PM

作者：彭俊文（一個小小留學生）

photo credit: Imaginary

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有一天小書僮在辦公室跟同事有了這樣的對話。

小書僮：「你知道我最近在寫科普的文章，那你有沒有辦法簡單的跟我說什麼是代數數？」

「代數數就是某個多項式的解吧。」同事想了約莫一秒這樣說。

小書僮：「或許我不該這樣問，我最想知道的是，代數數到底有什麼用。」正當同事準備要開口時我又接著說「你我都算數學專家，我們當然知道代數數在數學中的價值，可是可不可以請你告訴我，我怎麼跟一個非數學專業的人說，代數數為什麼重要？」

同事想了很久後說：「恩……這事似乎很難說得清楚。」

「好吧，也許我最想問的不是代數數能不能吃，我最想問的是純數學到底有什麼用？」小書僮一點都不驚訝我們的討論會進入到哲學議題。

「最近我看到一句話非常深得我心。」同事好像對這一個問題深具信心，充滿那種他一定會給我一個我會滿意的答案的表情，他繼續說「我之前在我們國內的知乎網看到有人給了一個中肯的評語，從此我就不再追問這個問題了」我的同事是一個中國東北帥哥。

之前網上有人在問數理化有什麼用，有一個人給了這個答案，他說：

「有些人學數理化有用，有些人學數理化沒有用，重點不是數理化有沒有用，重點是你這個人有沒有用。」

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哇！這真的是一語驚醒夢中人。其實身為一個數學博士生、一個數學準專家，我的訓練常常是將我帶向非人類的語言，所以每當有人聽到我們是數學系時，除了讚嘆外（老實說這種讚嘆大概就跟看到外星人差不多），最常問的問題就是數學系到底在研究什麼？身為一個常常會跟非數學人有第一類接觸的我，就開始想要用我曾經會的語言回答為什麼。

當我們在問有什麼用時，其實分成兩個層面，第一個層面是專業領域中的用處；第二個層面是非專業層面的用處，我們常常最關心的是第二個層面。第二個層面又分為兩個子層，第一層是某專業在其他跟我相關的事情中的用處，例如我們常從醫學研究人員口中得知這樣的研究對人類健康有幫助，從工程師口中知道某個技術讓你的下一代 iPhone 又變長了，但重點它會薄到讓你感覺不到它的存在。又例如生物最常藉助醫學與近來越來越火紅的生質能源，來告訴你它發生在生活中的哪個地方，工程師常常是化學與物理的發言人。而一般人們問的有用與無用，更接近第二個層面的第二個子層面，某專業在我生活中的直接用處，例如：槓桿原理可以幫我打開難開的東西、熱水可以有效的清潔油汙，矩形的面積應該是長乘以寬。

數學呢？數學時常只能躲在第一層面的地方，但是又會不經意地從不同的地方探出頭來。何大一（我們這邊不談政治，我們來談談他的雞尾酒療法），何大一在某次對醫學生的演講中，他的第一章投影片是一個積分，他在該場演講告訴學生，雞尾酒療法的理論就是建立在數學上。當他第一次接觸愛滋病時，他發現愛滋病的病毒增長速度太快了，當他只投入一種藥物時，病毒的增長速度還是無法控制，所以他透過研究藥物與病毒增長速度的關係中得出這樣的結論，如果他使用三種以上的藥物，那病毒的增長速度就能得到控制。

希望這樣的例子對你有幫助。

屁拉，如果這樣的例子我就知道數學很重要，就不會有那麼多的人還不斷地一直質問數學有什麼用了。何大一用這樣的例子勉勵未來的醫生能好好學數學，但是醫生的數學本來就不會不好，可是何以何大一能發現雞尾酒療法，其他人不行？

數學對人們重要的地方從來不是那些公式與結果，重要的是數學的思考方法！

數學系畢業的學生有一種極端，他常常會跟別人說，哇！數學好美！但是又說不出所以然美在哪裡，然後你就會覺得這個人頭殼壞了。可是我還是要告訴妳數學很美。

數學的美來自於數學純粹的思考

人們從國小、國中一直到高中，甚至是大學一年級，學了大量的數學計算，但是多數的我們卻沒有學到數學的思考。在我還是大學生的時候，這樣的思考是耳濡目染的，從每天的專業課程、功課和與同學討論的過程中，這樣的能力被有形與無形的建立。直到我成為研究生後，我才漸漸明白數學思考作為人類眾多思考模式的其中一種，它不同於其他者的地方在哪裡。

If …, then ….這樣的句型不斷的重複出現在數學的敘述中。

如果你有機會翻開一本數學系的數學教材，或者是有機會跟某個數學教授通信，你會發現你有很高的機會遇到 If …, then ….句型的應用，我不是說其他地方不會遇到，而是強調這樣的句型在數學裡面被刻意的大量的使用。

語言代表思想，而數學的思想從這樣的句型裡面被凸顯出來，這樣的句型代表著對於事實精準的陳述。

由於本魯的女朋友是一位工程師，讓我有機會能接觸工程師寫文章時候慣用的語言，我發現工程師在寫文章時，或許是為了讓文章整體的句型不過於單一，If ..., then ....這樣的句型應用並不廣泛，這讓我發覺對這個句型的喜好似乎是數學裡面獨有的。回到何大一的例子，數學的美被體現在：「如果他使用三種以上的藥物，那病毒的增長速度就能得到控制。」而這樣敘述的背後仰賴的又是不斷重複的 If ..., then ....的論證過程，數學就是在這樣的語言中被建立起來的。

數學的另一個美麗來自於概念的可推廣性

我們就用我們這篇文章遇到的一個數學專有名詞 — 代數數來作為例子。

代數學者關心的問題常常是「在某個數域上，我們是否有某個性質。」數域是一個數字的集合，這樣的集合必須滿足幾個條件(我們這邊將不討論它需要什麼條件)。數域的英文為 field，早期的中文數學翻譯書常常將它翻譯為「場」，但這並不是一個好的翻譯，在物理中，「場」是一個力作用的範圍，這樣的說法較容易會引起誤解，有可能是因為早期翻譯這類書籍的人都是物理學家，而 field 在物理學家的眼裡是一個「場」。一般人們在高中之前碰到的數域有以下三類：有理數域、無理數域與複數域。

當我們討論代數數時，我們需要問是哪個數域上的代數數。一個代數數是一個多項式的解，如果高中數學還沒還給老師的話，多項式是一個長得像下面這樣的式子

f(x) = 3x⁴ +2x³ -7x+1

如果多項式的係數限制在有理數域，那它等於零的解即為有理數上的代數數。在數學裡面，數域有好多好多種，代數數這樣的概念原本是建立在真正的數字上，當人們開始拓展數域的概念時，代數數這樣的概念也就同時的被拓展開來。

函數數域

這裡 h(t) 當然得是不等於零才行。對這樣的語言不熟悉的人可以這樣想，函數域是一個有理多項式所形成的一個很大的集合，這樣的集合滿足對於數域的定義。

讓我們再介紹另一個名詞後就進入本篇的重點(?)，代數數與自動機。

幂級數(Power series)

幂級數是一個很長很長的多項式，有多長？無限長。如果用符號表示，一個幂級數可以表示成

數學家曾經花了很多的力氣試圖判斷怎樣的幂級數是一個函數域上的代數數，怎樣的幂級數不是函數域上的代數數。有很長的一段時間，純數學家都只能在某些特殊情況下成功的判斷，一直到 1979 年發現了 Cristol's Theorem。

純數與理論計算機的連結

關於 Automatic sequence 可以參考上集 《自動機(Automaton) — 所有自然現象的發動機》。

這個定理連繫了純數與理論計算機，不只協助數學家找到一個有效的方法，判斷一個幂級數是否為函數域上的代數數，同時也讓理論計算機學家透過數學的語言，解決了一些他們長久無法解決的問題。

數學是藝術

話說從頭，欣賞數學就如同欣賞藝術一樣，藝術看的是實際的形式，數學看的是文字的敘述，Cristol's Theorem 是一個漂亮的定理，漂亮的地方是它用簡單的語言精確地敘述一個事實，而這個事實更連結了兩個看似毫不相關的領域。當然，對美的感受是因人而異的，就數學而言，數學的美學在於精準的描述一段因果關係。

數學理論可以說是跟生活幾乎完全無關(也許就是因為我從以前學到現在的東西只有小學四年級以前有用，所以到現在還是一個生活白癡吧！)，不像槓桿定律，可能是我們每天都會遇到的事情，數學在生活的用途，不在數學本身，而在於數學給予的訓練，這個訓練包括了對語言使用的精確性，與對於概念推廣的能力的掌握，而這樣的訓練在別的學科(也許哲學有可能)是得不到的。

數學系的優勢在哪

數學系的畢業生，你的劣勢來自於你對這個世界(職場)完全不懂，而你的優勢卻是別人花好久的時間都無法輕易追回來的，這樣的優勢在於你會很小心地掌握名詞的定義，名詞與名詞間的關係，因為你在大學裏面花了太多時間經歷了<因為沒有小心看定義，導致考試時整個證明被打個大叉叉>。你會清楚的知道一件事情可以怎樣做，不能怎樣做，因為你有好多考試<可能只是因為一個小小的邏輯論述錯誤又被打了個大叉叉>。你會比別人更輕易的將概念推廣，因為這幾乎是你每天都在做的事情，大學四年大量地進行腦內研究，也讓你對於抽象思考的掌握能力比他人更強，而這正是數學系特有的氣質。

延伸閱讀

《念數學系與資工系的差別》，天下雜誌

《你自己選吧：當工程師不需數學好，但神級工程師的數學都很好》，科技橘報

Jean-Paul Allouche, ‎Jeffrey Shallit, Automatic Sequences: Theory, Applications, Generalizations, 2003, 356-358, Cambridge University Press (Cristol Theorem的參考)

數學作為一種語言，單維彰，中央大學數學系與師資培育中心