張貼日期：Apr 29, 2015 12:46:40 PM

三角化猜想

給定任意一個幾何空間，例如一個球面或者是甜甜圈，有沒有可能把它切成更小的簡單結構呢?

舉例來說，如果給的是二維球面，那麼可以用一塊塊的三角形鋪滿整個二維球面。事實上，任意二維表面都可以用三角形鋪滿。

數學家長久以來感興趣的一個問題是這樣子的: 是不是任何維度上的流形都存在【可細分成簡單結構】的性質。用拓樸學家的術語來說，簡單結構就是指單體 (simplex)，細分成簡單結構即是所謂的 三角化。

在拓樸領域裡，其中一個最著名的難題就是三角化猜想:

任意的流形，都可以被三角化。

流形?! 流行?! 傻傻分不清楚

此流形非彼流行。想略懂略懂的話就看維基百科(轉貼如下)，不想懂的人跳過也不大妨礙閱讀。

“拓樸流形可以視為近看起來象歐幾里得空間或其他相對簡單的空間的物體。例如，人們曾經以為地球是平的。這是因為相對於地球來說人類實在太小，平常看到的地面是地球表面微小的一部分。所以，儘管知道地球實際上差不多是一個圓球，如果只需要考慮其中微小的一部分上發生的事情，比如測量操場跑道的長度或進行房地產交易時，仍然把地面看成一個平面。一個理想的數學上的球面在足夠小的區域上的特性就像一個平面，這表明它是一個流形。但是球面和平面的整體結構是完全不同的：如果在球面上沿一個固定方向走，最終會回到起點，而在一個平面上，你可以一直走下去。

流形有很多種。最簡單的是拓撲流形，它們局部看來像歐幾里得空間。其他的種類包含了它們在使用中所需要的額外的結構。例如，一個微分流形不僅支持拓撲，而且要支持微積分。黎曼流形的思想導致了廣義相對論的數學基礎，使得人們能夠用曲率來描述時空。”

引自維基百科

三角化有甚麼好處

數學家面對複雜困難的問題時，最常做的就是先把它簡單化，然後去研究簡化過的東西，用它來理解原始複雜困難的問題。把流形三角化就是這樣子的概念，在簡單容易理解的單體上去理解一個巨大又複雜的流形。三角化的另一個好處是可以用來計算在數學上很重要的一個概念: 不變量。

那麼不變量的好處又是甚麼?

不變量可以用來判斷兩個空間是不是相同的(拓樸上)，比方說，有兩個流形，經計算後發現它們的不變量是不相等的，那麼數學家就知道這兩個流形是在拓樸上是不一樣的。(但反過來的推論是不對的，也就是說，兩個流形有一樣的不變量並不代表它們就相同。)

一個非常著名的不變量就是:

歐拉特徵值 (Euler characteristic) = 點數 – 線數 + 面數

二維球面的歐拉特徵值是 2 ，而甜甜圈算出來是 0 ，因此我們可以知道球跟甜甜圈是不同的 (沒錯! 這就是數學家才有的對話 XD)。事實上，在二維的情況下，具有相同歐拉特徵值的流形，都是拓樸等價的；然而，三維以上就沒有那麼好的性質了，也就是說，存在好幾個不同的流形具備相同的歐拉特徵值。儘管如此，三角化仍是一個數學上非常重要的工具。

三角化猜想在 20 世紀初的時候提出，起先，數學家們大多認為三角化猜想是正確，到了 1950 年代也已經確認其在一維、二維、三維的正確性。然而，隨著時間過去，數學家漸漸意識到...恩恩...代誌不是憨人所想的那麼簡單...

研究發現【高維度空間缺少了許多低維空間有的漂亮性質】，於是，就有數學家開始懷疑，三角化猜想在四維以上的正確性。懷疑歸懷疑，當時也沒有人能夠提出證明。

一直到了 1982 年佛列德曼 Michael Freedman 首先建構出一些【無法用一類特殊方法三角化的四維流形】，才總算有了些微證據，這個工作導致的後續研究也讓他破解了鼎鼎大名的四維的龐加萊猜想，因而得到了 1986 年的菲爾茲獎 (至於三維的核心問題，最終就是由那位在 2006 年拒領菲爾茲獎的俄國數學家佩雷爾曼證出)。

果不其然，不久之後，耶魯大學的數學家卡森 Andrew Casson 就證明了這些四維流形都無法被三角化。三角化猜想的正確性就此夢碎。美中不足的是，佛列德曼和卡森的工作並沒有辦法推廣到五維及五維以上，因此，數學家的工作還仍未完結…

哈佛超新星

馬諾勒斯庫 Ciprain Manolescu 進哈佛讀大學時就是個校園風雲人物，原因是他在 1995 ~ 1997 年，連續三屆國際奧林匹亞數學競賽， 滿分!!! 滿分!!! 滿分!!!

因為太震驚了，所以要說三次。完美又卓越的成績，不只前無古人，至今也無來者，其中1996年還是當年唯一滿分。

馬諾勒斯庫回想起三角化猜想的第一次接觸，是 2000 年左右還在哈佛當研究生的時期。但即使是像他這樣子的超凡異數，選擇證明一個百年數學難題當作博士畢業論文的行為，也是會被當作瘋子的。因此，他轉而研究另一相關主題 Flore homology，十年來的研究重心幾乎全放在那裡，偶爾才想想那個幾無線索又念念不忘的三角化猜想。

直到 2012 年底，馬諾勒斯庫(現為UCLA教授)才突然驚覺，原來過去從學生時代開始一直到現在所建構的理論，就是破解三角化猜想的必要關鍵。窺破玄機之後，本身是工作狂的馬諾勒斯庫開始馬不停蹄日以繼夜的思考再思考，很快地就發了篇論文 (2013 年 3 月投稿，2014 年 2 月最新版)，證明三角化猜想錯得非常厲害:

當 n>4，也都找得到無法被三角化的 n 維流形。

他的證明，不僅將個人學術地位推向高峰，同時也創造了一種新的強大工具，提供了破解其他拓樸難題的重要契機。