Equações Diferenciais Ordinárias (2023.2)

Código MAT510/PGMAT0020 (Carga didática: 102h)

Horário: SEG-QUA 13:55 - 16:40

Local: sala 14 da PG (IME-UFBA)

Início do curso: 14 de agosto, 2023.

Avaliação:

30% lista de exercícios (para entregar no dia da segunda prova) veja no final página;
30% primeira prova escrita;
40% segunda prova escrita.

Canal do telegram com todo o material do curso acessível via o QR code ao lado.

O grupo de discussão associado a este canal terá acesso divulgado por email aos discentes matriculados do curso.

Datas das provas:

Primeira Prova: quarta-feira, 02 de outubro, 2023.

Segunda Prova: quarta-feira, 29 de novembro, 2023.

Conteúdo (ementa oficial):

1. Sistemas de equações diferenciais.
2. Teorema de existência e unicidade local (teorema de Picard) e global (soluções maximais).
3. Dependência das condições iniciais, e com relação a parâmetros.
4. Sistemas lineares, exponencial de matrizes e estudo de campos lineares bidimensionais simples.
5. Classificação dos campos lineares hiperbólicos.
6. Singularidades hiperbólicas de campos de vetores e o enunciado do teorema de linearização de Grobman-Hartman.
7. Órbitas periódicas, seções transversais e transformação de Poincaré.
8. Conjuntos e limites e o teorema de Poincaré-Bendixson.
9. A equação de Van der Pol.

Referências principais:

- SOTOMAYOR, J.; Lições de Equações Diferenciais Ordinárias. Projeto Euclides, IMPA, Rio de Janeiro, 1979.
- Claus I. Doering, Artur O. Lopes, Equações Diferenciais Ordinárias. Coleção Matemática Universitária, IMPA, 2010;
- HIRSCH, M.& SMALE, S.; Differential Equations Dynamical Systems and Linear Algebra. Academic Press, New York, 1974.
- HIRSCH, M.& SMALE, S. & Devaney, R.; Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos. Academic Press, New York, 2003.
- ARNOLD, V.; Équations Differentialles Ordinaires. Ed. Mir, Moscou, 1974.
- CASTRO, A.; Curso de Equações Diferenciais Ordinárias. Preprint UFBA, 2007.

Referências Complementares:

- VIANA,M & ESPINAR, J.; Differential Equations - A Dynamical Systems Approach to Theory and Practice. Graduate Studies in Mathematics. AMS, Providence, 2020.
- NEMYTSKII,V., STEPANOV,V.; Qualitative Theory of Differential Equations. Dover Publications, New York, 1989.
- SCARDUA, B.; Tópicos de Equações Diferenciais Ordinárias. 22º Colóquio Brasileiro de Matemática, IMPA, Rio de Janeiro, 1999.
- PALIS Jr., J. & de Melo, W.; Introdução aos Sistemas Dinâmicos. Projeto Euclides, IMPA, Rio de Janeiro, 1978.
- Apresentações de Shlomo Sternberg, especialmente as seguintes:
  - Lecture 9: Metric spaces. The contraction fixed point theorem. The implicit function theorem. The existence of solutions to differential equations.
  - Lecture 13: Ordinary differential equations.
  - Lecture 14: The Poincare-Bendixon theorem.
  - Lecture 11: Hyperbolicity.
  - Van der Pol Equation.

MATERIAL DO CURSO

Lista de exercícios

Apontamentos da matéria, conteúdo de aulas expositivas e videoaulas seguem abaixo.

O conteúdo das aulas está sempre em duas versões: para apresentar num projetor e para imprimir em formato de notas de aula, junto com vídeos auxiliares descrevendo o material.

Apresentação do curso

Espera-se que os discentes estudem o material seguinte na primeira semana do curso.

Referências: Capítulos 0 e I do livro Doering-Lopes (e exercícios inclusos)

- pres-EDO-a (notas) : Apresentação e exemplos (este arquivo é visto mais corretamente no Adobe Acrobat Reader).
- Videoaulas expositivas dos apontamentos apresentados acima:
  - Apresentação - definição de EDO e de solução de EDO. Equações diferenciais separáveis (video 01: https://youtu.be/RQTGw_3XO7c)
  - Equações lineares na reta. Equações vetoriais/escalares. Equação do movimento do pêndulo (video 02: https://youtu.be/Kc9FcDve5zI)
  - Aproximações - séries de potências; linearização. Condições iniciais e de fronteira (de contorno) (video 03: https://youtu.be/WNCoFcjGLJs)
  - Conservação de energia no modelo do pêndulo - consequências para o estudo das trajetórias. (video 04: https://youtu.be/uxr_um__Ylg )
  - O pêndulo na história da ciência. Organização geral do curso. (video 05: https://youtu.be/S4uMcIMEOYE )

Equações diferenciais lineares, não autônomas e não homogêneas

Espera-se que os discentes estudem o material seguinte nas quatro primeiras semanas do curso.

Referências: Capítulos III do livro de Sotomayor e Seção 3.1 de Doering-Lopes (e exercícios inclusos)

- pres-EDO-b (notas) : Equações diferenciais lineares, não autônomas e não homogêneas. Existência e unicidade. Fluxo linear.
- Videoaulas expositivas dos apontamentos apresentados acima:
  - Equações diferenciais lineares - existência de soluções por aproximações sucessivas/recursivas - norma de operador em espaços de operadores lineares e completude - exponencial de um operador linear (video 06: https://youtu.be/ovaHgJeXffw )
  - Equações diferenciais lineares - diferenciabilidade e unicidade da solução de uma EDO linear (video 07: https://youtu.be/1PVnGmL34_A )
  - Existência e unicidade de soluções para equações diferenciais lineares não autônomas (video 08: https://youtu.be/STD4lX49HNk )
  - Aplicações de existência e unicidade de soluções para equações diferenciais lineares não autônomas: redução de ordem de equações diferenciais lineares na reta e Teorema Fundamental da Geometria Diferencial das Curvas no Espaço (video 09: https://youtu.be/_yebEMNRZxA )
  - Propriedades das soluções das equações diferenciais (não autônomas) lineares ( video 10: https://youtu.be/91E4N-Sgtag )
  - Soluções de equações diferenciais lineares (não autônomas) não homogêneas versus homogêneas (video 11: https://youtu.be/obQPuC5L7MI )
  - Determinante de solução de equação diferencial linear não autônoma homogênea - Fórmula de Liouville (video 12: https://youtu.be/8qeIPS6DtjM )
  - Soluções de equações diferenciais lineares (não autônomas) homogêneas com coeficientes periódicos: Teorema de Floquet (video 13: https://youtu.be/s_NaXpPGfC8 )

Equações diferenciais lineares com coeficientes constantes

Espera-se que os discentes estudem o material seguinte entre a quinta e a sétima semanas do curso.

Referências: Capítulos 1-3 do livro Doering-Lopes (e exercícios inclusos)

- pres-EDO-c (notas) : Equações diferenciais lineares com coeficientes constantes, Forma Canônica de Jordan, fluxos lineares no plano, fluxo linear hiperbólico, conjugação entre fluxos lineares, abertura e densidade de fluxos lineares hiperbólicos entre os fluxos lineares.
- Videoaulas expositivas dos apontamentos apresentados acima:
  - Estratégia para calcular explicitamente o exponencial de uma matriz quadrada: a Forma Canônica de Jordan (video 14: https://youtu.be/413Ig5WMEM4 )
  - Cálculo explícito do exponencial de um operador linear em dimensão finita (video 15: https://youtu.be/TQS6qK4jK9M )
  - Estudo dos casos particulares de sistemas lineares no plano: exponencial de matriz 2x2 (video 16: https://youtu.be/a2vwXnGqbq0 )
  - Estudo do comportamento de sistemas lineares via espectro do operador linear: caracterização de poço e fonte linear (video 17: https://youtu.be/eoxHwmHX6HI )
  - Comportamento de sistemas lineares hiperbólicos (video 18: https://youtu.be/A5wftbsH_3Q )
  - Conjugação entre sistemas lineares: caracterização de poço linear e de fonte linear (video 19: https://youtu.be/eAEiD8nICN8 )
  - Conjugação entre sistemas lineares hiperbólicos (video 20: https://youtu.be/j_LncWKshyc )
  - Campos lineares típicos são hiperbólicos: abertura e densidade de campos lineares hiperbólicos entre todos os campos lineares (video 21: https://youtu.be/sAQXd9NyIfI )
  - Comportamento de sistemas lineares periódicos via monodromia (video 22: https://youtu.be/Kkkr8qwU1WY )
  - Soluções periódicas não triviais de sistemas lineares periódicos não homogêneos (video 23: https://youtu.be/qJtQ34iOdmY )

PRIMEIRA PROVA

O conteúdo da primeira prova contém os tópicos anteriores desta lista.

Existência, Unicidade e Diferenciabilidade de Soluções

Espera-se que os discentes estudem o material seguinte entre a oitava e a décima primeira semanas do curso.

Referências: Capítulo IV do livro de Sotomayor e Capítulo 10 de Doering-Lopes (e exercícios inclusos)

- pres-EDO-d (notas) : Existência, Unicidade, Diferenciabilidade de Soluções para E.D.O. geral de primeira ordem.
- Videoaulas expositivas dos apontamentos apresentados acima:
  - Teorema de Existência e Unicidade de Soluções para Equações Diferenciais Ordinárias - Teorema de Picard (video 24: https://youtu.be/QSqbjqJJi_Q )
  - Teorema do Ponto Fixo para Contrações em Espaços Métricos Completos (video 25 : https://youtu.be/gY4a3D15_xM )
  - Teorema de Existência de Soluções com dados continuos - Teorema de Peano (video 26: https://youtu.be/2LQKwFJZVHI )
  - Extensão de soluções - Soluções Máximas e propriedades (video 27: https://youtu.be/DqO588NwJIs )
  - Existência de solução para todo tempo real - condição suficiente para fluxo completo (video 28 : https://youtu.be/-9HnhvxFGw4 )
  - Variação contínua da solução em relação à condição inicial e parâmetros (video 29: https://youtu.be/8XH4ba9aXXs )
  - Lema de Gronwall - variação Lipschitz da solução em relação à condição inicial (video 30 : https://youtu.be/XEdamTOsjxU )
  - Diferenciabilidade de soluções em relação a condições iniciais e parâmetros - A equação linear variacional (video 31: https://youtu.be/YNvMqcDbE4U)

Teoria Qualitativa. Teorema de Poincaré-Bendixson

Espera-se que os discentes estudem o material seguinte entre a décima segunda e décima quarta semanas do curso.

Referências: Capítulo VII do livro de Sotomayor e Capítulos 4 e 6 do livro Doering-Lopes (e exercícios inclusos)

- pres-EDO-e (notas) : Introdução à Teoria Qualitativa: fluxo de um campo de vetores, fluxo tubular, conjuntos-limite, órbitas periódicas, seções transversais e Teorema de Poincaré-Bendixson.
- Videoaulas expositivas dos apontamentos apresentados acima:
  - Equações diferenciais ordinárias autônomas; fluxo de campo de vetores; singularidades; órbitas periódicas; pontos regulares (video 32 : https://youtu.be/mTnfjRK8vxw )
  - Conjugação (local) de fluxos; mudança de coordendas de campos e conjugação; preservação de singularidades e órbitas periódicas (video 33: https://youtu.be/uxFxN8TpARA )
  - Exemplo de campos arbitrariamente próximos mas não conjugados (video 34: https://youtu.be/2GR_Wpax_Sk )
  - O Teorema do Fluxo Tubular - comportamento de soluções de um campo de vetores numa vizinhança de um ponto regular (video 35 : https://youtu.be/8GNIJM5Iu1U )
  - Equivalência topológica de fluxos -- todo campo localmente Lipschitz é topologicamente equivalente a um campo completo no mesmo espaço (video 36: https://youtu.be/aWdfGbb_ehY )
  - Conjuntos Limites (alfa- e ômega-limite) e suas propriedades (video 37: https://youtu.be/fYdjNiHLWBs )
  - Seções transversais e transformações de retorno de Poincaré (video 38: https://youtu.be/ulVMhVtr348 )
  - Propriedades das transformações de retorno de Poincaré (video 39: https://youtu.be/7OQNulSqQvU )
  - Transformações de retorno de Poincaré para campos planares (video 40: https://youtu.be/1Bvjc0BCfTg )
  - Teorema de Poincaré-Bendixson - conjuntos-limite de campos planares (video 41 : https://youtu.be/vrzd-jbukBQ )
  - Aplicações do Teorema de Poincaré-Bendixson (video 42 : https://youtu.be/nXnOmOcXtPc )
  - Teorema de Peixoto sobre estabilidade estrutural de campos em superfícies (video 43: https://youtu.be/GgqFnYU0Vjk )
- pres-EDO-g-Pol (notas): A equação de Van der Pol - extensão do Teorema de Poincaré-Bendixson com condições que garantem unicidade do ciclo limite. (video 44: https://youtu.be/uKXb28qqIA4 )

Teorema de Hartman-Grobman para singularidades e órbitas periódicas hiperbólicas de campos de vetores. Teorema da Variedade Estável.

Espera-se que os discentes estudem o material seguinte entre a décima quinta e décima sétima semanas do curso.

Referências: Capítulo IX do livro de Sotomayor (e exercícios inclusos)

- pres-EDO-f (notas): Linearização de singularidades hiperbólicas: o Teorema de Hartman-Grobman para transformações e para campos. Aplicação a órbitas periódicas hiperbólicas de campos de vetores diferenciáveis. O Teorema da Variedade Estável para singularidades e órbitas periódicas hiperbólicas.
- Videoaulas expositivas dos apontamentos apresentados acima:
  - Linearização de singularidades hiperbólicas: o Teorema de Hartman-Grobman para campos; a variedade estável/instável de uma singularidade hiperbólica (video 45 : https://youtu.be/yr-gfQysvrI)
  - Persistência e estabilidade de singularidades hiperbólicas para campos de vetores (video 46 : https://youtu.be/sQRxItHfNDA)
  - Prova do Teorema de Hartman-Grobman para campos via versão para difeomorfismos (video 47 : https://youtu.be/YRGfRBgFXTA)
  - Hartman-Grobman aplicado a órbitas periódicas hiperbólicas de campos de vetores (video 48 : https://youtu.be/tYrrV5Fbmy4)

SEGUNDA PROVA (e entrega da lista de exercícios)

O conteúdo da segunda prova contém todos os tópicos do curso.

Material complementar

Caos no Sistema Solar -- Atalhos no Sistema Solar revelados pela Dinâmica Hiperbólica. Semana Temática de Sistemas Dinâmicos, Programa de Verão do Programa de Pós-Graduação em Matemática 2021, Instituto de Matemática e Estatística da UBFA, 26.01.2021. Apresentação: pdf / odp. Vídeo.
pres-EDO-Lorenz (notas) : Sobre o atrator de Lorenz. Um pouco de história e do significado deste sistema de equações diferencias para a Teoria das Equações Diferenciais Ordinárias; propriedades simples; propriedades fundamentais para a compreensão da dinâmica do fluxo no atrator; construção do modelo geométrico das equações de Lorenz.
Referências: Livro "Three dimensional flows" de Araújo-Pacífico: Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg. Volume 53 (2010) da coleção Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge / A Series of Modern Surveys in Mathematics.

Plano de aulas em pormenor