Integração (MAA742 Mestrado/Doutorado Matemática) 2009/2

Ementa

1. Motivação: Riemann vs. Lebesgue

2. Medidas em semi-anéis e anéis e o teorema de extensão de medidas.

3. Teoremas de Convergência de Lebesgue: convergência monótona e dominada.  

4. Integrais indefinidas, medidas com sinal e complexas. O Teorema de Radon-Nikodym

5. Torema de Decomposição de Lebesgue.

6. Espaços L_p

7. Convergência quase uniforme, em medida, pontual, uniforme e inter-relações entre elas.

8. Medidas produto. Teoremas de Tonelli-Cavalieri e de Fubini.

9. Transporte de medidas e medidas invariantes. Teorema de Recorrência de Poincaré

10. Medias borelianas em espaços localmente compactos: o Teorema de Representação de Riesz-Markov.

11. Derivação e integração: Teorema de Derivação de Lebesgue e o Teorema Fundamental do Cálculo.

Referências:

Curso de Teoria da Medida

Augusto Armando de Castro Jr.

Projeto Euclides, IMPA, Rio de Janeiro, 2004

Introdução à medida e integração

Carlos Isnard

Projeto Euclides, IMPA, Rio de Janeiro, 2007

Hausdorff Measures

C.A. Rogers

Cambridge Univ. Press, Cambidge, 1970, 1988.

Real and Complex Analysis

Walter Rudin,

McGraw-Hill, New-York,1987

Elementos da Teoria das Funções e de Análise Funcional

A. Kolmogorov e S. Fomin,

MIR, 1982.

A avaliação será feita via exposições realizadas pelos alunos nos seguintes temas.

Deixo sugestões para as seções na bibliografia em cada tema abaixo.

A lista de referências bibliográficas está mais abaixo.

As sugestões de bibliografia são recomendadas mas não são obrigatórias.

No entanto, espero que cada tema seja apresentados por um aluno inscrito no curso;

e que cada aluno inscrito apresente dois temas distintos.

Além disso, conto que cada exposição não demore mais do que duas horas.

(Vai ser difícil cumprir este limite, mas pelo menos devemos tentar!)

Temas

• 1. Espaços L^p, Ref 1, Capítulo 6, até item 6.0.12 (exceto ítens 6.03 a 6.0.5);

  2. Espaços L^p, Ref 1, Capítulo 6, do Corolário 6.0.13 até ítem 6.0.19;

  3. Teorema de Radon-Nikodym, Ref 2, Capítulo 6, até Teorema 6.8

  4. (NOTAR que aqui se vai assumir que L^2 é espaço de Hilbert e o Teorema de Representação de Riesz nestes espaços, mas isso será apresentado em aula antes desta exposição).

  5. Ref 2, Capítulo 6, ítens 6.9, 6.10 e 6.11

  6. Consequências do Teorema de Radon-Nikodym: Ref 2, Capítulo 6, Teoremas 6.12, 6.13, 6.14+Corolário seguinte.

  7. Dualidade nos L^p: Ref 1, Cap 6, Seção 6.3 ou Ref 2, Capítulo 6, ítens 6.15, 6.16 e 6.17

  8. O espaço de medidas complexas. Ref 1, Capítulo 5.1 e Proposição 6.0.5

  9. Convergência de sequências de funções: Ref 1, Capítulo 7, até item 7.2.5

  10. Convergência de sequências de funções: Ref 1, Capítulo 7, de ítem 7.2.6 até final

  11. Integral em espaços produto - Tonelli-Cavalieri - Ref 1, Capítulo 8, seções 8.1 e 8.2

  12. Integral em espaços produto - Fubini - Ref 1, Capítulo 8, seção 8.3

  13. Teoremas de derivação de Lebesgue: Ref 1, Capítulo 11 até seção 11.2

  14. Teoremas de derivação de Lebesgue: Ref 1, Capítulo 11, seção 11.3

Distribuição de temas entre os alunos:

1                                  Raquel

2                                  Raquel

3                                  Wellington

4                                  Wellington

5                                  Gilliard e Marcelo

6                                   Raphael

7                                   Marcelo

8                                   Gillliard

9                                   Juliana

10                               Juliana

11                               Raphael

12                               Gilliard e Marcelo

13                               Raphael e Raquel

Referências:

1) Curso de Teoria da Medida

Augusto Armando de Castro Jr.

Projeto Euclides, IMPA, Rio de Janeiro, 2004

2) Real and Complex Analysis

Walter Rudin,

McGraw-Hill, New-York,1987