Lista de Exercícios EDO (Mestrado)

Lista de exercícios: (a distribuição dos exercícios pelos estudantes pode ser vista na tabela no final desta página)

• 1. E.D.O. linear não autonoma. 

     1. Exercícios 1 a 5 de Cap. III de Sotomayor, pág 88-90.

  2. E.D.O. linear autônoma com coeficientes constantes no plano. 

• • • Exercícios 10 a 13; 14 a 17 e 24-25 do Cap. 1 de Doering-Lopes, pág. 56-60.

• 3. E.D.O. linear autônoma com coeficientes constantes. 

• • • Exercícios 2-3; 4-5 e 6 Cap II de Doering-Lopes, pág 99; e

    • exercícios 16, 17 e 18 de Cap. III de Sotomayor, pág 93-94.

• 4. Logaritmo de operador linear.

• • • Exercícios 11 e 12,  Cap. II, Seção 2.5 de Doering-Lopes, pag. 100; 

    • exercícios 33 a 37. Cap. III de Sotomayor, pag. 102; e 

    • exercício 12, Cap. III, Seção 3.3 de Doering-Lopes, pag. 129.

• 5. Existência, unicidade e diferenciabilidade de soluções. 

• • • Exercícios: 7, 10 e 11 do Cap. II de Sotomayor, pág. 44-45; e 

    • exercícios 3 a 10 e também 12, do Cap. 4 de Doering-Lopes, pág. 176-177.

• 6. Fluxo de campo de vetores, fluxo tubular, conjuntos limite, seções transversais. 

• • • Exercícios 2, 4, 5, 6, 7, pág 258-259 do Cap. 6 de Doering-Lopes; 

    • exercício 2 do Cap. VII pag. 258 de Sotomayor; e 

    • exercícios 12 e 14 do Cap. 4, pag 177 de Doering-Lopes.

• 7. Seja p ponto de uma órbita periódica hiperbólica de um campo X de classe C1 em Rn. Mostre que para todo real positivo T existe vizinhança V de p tal que toda órbita periódica de X com ponto em V \ O(p) tem período mínimo maior que T.

  8. Sejam X, Y campos de vetores de classe C1 em Rn e assuma que a origem seja uma singularidade hiperbólica atratora para X e para Y. Mostre que existe homeomorfismo h de uma vizinhança da origem que conjuga os difeomorfismos X1 e Y1 (o tempo 1 dos fluxos Xt e Yt dos campos X e Y) ,  mas não leva órbitas de X em órbitas de Y.

  9. (extra)

     1. Seja x'=ax equação diferencial ordinária linear em R, onde"a" é constante não nula. Seja ainda h homeomorfismo da reta que conjuga o fluxo desta equação diferencial consigo mesmo, ou seja, h(eat.x0)=eat.h(x0), para todo t real e todo ponto x0 da reta. Mostre que h tem que ser uma aplicação linear, isto é, existe b real não nulo tal que h(x)=bx, para todo x na reta.

     2. Dê exemplo de uma equação diferencial ordinária linear x'=Ax em R2 cujo fluxo admite uma conjugação consigo mesmo (isto é, um homeomorfismo h de R2 tal que h(eAt.w0)=eAt.h(w0) para todo t real e todo w0 no plano) que não é uma aplicação linear.