O que é uma equação diferencial ordinária de ordem n. Exemplos de modelos Físicos (o pêndulo) e Epidemiológicos (o modelo SIR). Equações lineares versus não lineares. Linearização e aproximação de soluções de equações não lineares. Retrato geral do curso.

Equações diferenciais lineares, não autônomas e não homogêneas. Redução de ordem de uma equação diferencial de ordem n para um sistemas de equações diferenciais de primeira ordem.

Sistemas de equações diferenciais de primeira ordem e campos de vetores. A inexistência de fórmulas gerais para exprimir a solução da maioria das equações diferenciais e a necessidade de uma teoria qualitativa para as soluções das equações diferenciais ordinárias.

Exponencial de operadores lineares em espaços vetoriais de dimensão finita e solução de sistemas de equações lineares de primeira ordem. Exemplos. 

A forma integral equivalente da equação diferencial e o Teorema de existência e unicidade de soluções para a equação diferencial linear não autônoma e não homogênea X'=A(t)X+b(t). Normas no espaço de operadores lineares e completude deste espaço em relação à norma de operador.

O Teorema de Existência e Unicidade de soluções para equações diferenciais lineares de ordem n via redução de ordem. O Teorema fundamental da geometria das curvas no espaço como aplicação do Teorema de Existência e Unicidade de soluções para a E.D.O. linear não autônoma e homogênea.

A linearidade das equações diferenciais implica que os espaço de todas as soluções é um subespaço vetorial do espaço de todos os caminhos contínuous em Rn. A dimensão do espaço vetorial das soluções de uma E.D.O. linear não autônoma em Rn é igual à dimensão do espaço Rn. O fluxo linear como família a um parâmetro de isomorfismos e suas propriedades.

Matriz fundamental de soluções de uma E.D.O. linear não autônoma em Rn. Relação entre duas matrizes fundamentais da mesma E.D.O. linear não autônoma. Soluções da E.D.O. não autônoma e não homogênea X'=A(t)X+b(t) em Rn como soma de solução da E.D.O. linear não autônoma e homogênea X'=A(t)X com uma solução particular de X'=A(t)X+b(t).

Exemplos e resolução de exercícios.

Fórmula de Liouville e preservação de volume em fluxos lineares. Exemplos. E.D.O. linear não autônoma com coeficientes periódicos. O logaritmo de um operador linear e o Teorema de Floquet.

Equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. O cálculo de exponencial de um operador linear e de sua matriz. Mudança de coordenadas e conjugação. Operadores diagonalizáveis e sua exponencial.

Diagonalização por blocos e exponencial de operador diagonalizado por blocos. A Forma Canônica de Jordan.

Exemplos e resolução de exercícios.

O cálculo de exponencial de qualquer operador linear de Rn.

Exemplos e resolução de exercícios.

Sistemas lineares no plano. Classificação de todos os casos e seus retratos de fase. Exemplos.

O sinal negativo da parte real dos autovalores generalizados de um operador linear e contração uniforme da matriz fundamental associada ao sistema linear. O caso hiperbólico.

Espaço instável e espaço estável para sistemas lineares hiperbólicos. O índice de um sistema linear hiperbólico. Hiperbolicidade de sistema linear e o espectro do operador linear.

Conjugação diferenciável entre sistemas lineares hiperbólicos versus conjugação topológica.

Exemplos e resolução de exercícios.

Caracterização de poço/fonte via espectro do operador linear de um sistema linear. Índice e conjugação topológica de sistemas lineares hiperbólicos.

Prova do teorema de conjugação entre fluxos lineares hiperbólicos.

Abundância de fluxos lineares hiperbólicos: abertura e densidade de sistemas lineares hiperbólicos no espaço de todos os sistemas de equações diferenciais lineares num dado espaço vetorial.

Estabilidade estrutural dos sistemas lineares hiperbólicos.

Exemplos e resolução de exercícios.

Primeira prova.

Nem sempre se tem unicidade na solução de equações diferenciais. Exemplos. Equações diferenciais não lineares. Exemplo: o sistema de equações de Lorenz. O Problema de Cauchy. O Teorema de Picard (teorema de Existência e Unicidade).

Redução ao caso autônomo. O Teorema do ponto fixo para contrações uniformes com parâmetros. Prova do Teorema de Picard.

Teorema de Peano: existência de soluções com dados contínuos. Soluções máximas e suas propriedades. Dependência contínua da solução em relação às condições iniciais e parâmetros.

Exemplos e resolução de exercícios.

Lema de Gronwall e a propriedade Lipschitz das soluções de uma equação diferencial em relação às condições iniciais.

Diferenciabilidade de soluções. A diferenciabilidade do fluxo. A equação linear variacional e a Fórmula de Liouville.

Diferenciabilidade do fluxo em ordem mais alta: dados de classe Ck implicam que o fluxo é da mesma classe Ck.

Diferenciabilidade de soluções em relação a parâmetros.

Introdução à Teoria Qualitativa: fluxo de um campo de vetores, grupo a um parâmetro de difeomorfismos. Pontos singulares e regulares. Órbitas periódicas. Conjuntos invariantes.

Conjugações locais e preservação de singularidades e órbitas periódicas.  Mudança de coordenadas em campos e conjugação diferenciável de fluxos.

Teorema do Fluxo Tubular. Exemplos e resolução de exercícios.

Conjuntos limite, ómega-limite e alfa-limite. Exemplos. Propriedades dos conjuntos limite.

Seções transversais e transformações de retorno. Exemplos.

Propriedades dos tempos de retorno a uma seção transversal. Exemplos.

Campos no plano. Teorema de Poincaré-Bendixson.Exemplos e resolução de exercícios.

Corolários e aplicações do Teorema de Poincaré-Bendixson.

Estudo da equação de Van der Pol. 

Singularidades hiperbólicas de um campo de vetores. Linearização de singularidades hiperbólicas: o Teorema de Hartman-Grobman para transformações e para campos.

Exemplos e resolução de exercícios.

Aplicação a órbitas periódicas hiperbólicas de campos de vetores diferenciáveis: a conjugação com fluxo suspensão da transformação linear da transformação de retorno a uma seção transversal.

Prova do  Teorema de Hartman-Grobman para transformações e para campos.

Exemplos e resolução de exercícios.

O Teorema da Variedade Estável para singularidades e órbitas periódicas hiperbólicas.

Exemplos e resolução de exercícios.

Segunda prova e entrega de lista de exercícios