TEMA 6: FUNCIONES

Es

importante entender que el concepto de función se desarrolló con el paso del tiempo; su

significado fue cambiando y también la forma en que se definía, ganando precisión a

través de los años.

Lo más apropiado, quizás, sea comenzar en Mesopotamia. En las matemáticas

babilónicas encontramos tablas con los cuadrados, los cubos y los inversos de los

números naturales. Estas tablas sin duda definen funciones de N en N o de N en R, lo

que no implica que los babilonios conocieran el concepto de función. Conocían y

manejaban funciones específicas, pero no el concepto abstracto y moderno de

función.

En el antiguo Egipto también aparecen

ejemplos de usos de funciones particulares. Una

tabla con la descomposición de 2/n en fracciones

unitarias 4 para los impares n desde 5 hasta 101

aparece en el Papiro Rhind o Papiro Ahmes, de

unos 4000 años de antigüedad considerado como

el primer tratado de matemáticas que se conserva.

Detalle del Papiro Ahmes

En la Grecia clásica también manejaron funciones particulares —incluso en un

sentido moderno de relación entre los elementos de dos conjuntos y no sólo de

fórmula— pero es poco probable que comprendieran el concepto abstracto (y

moderno) de función.

La mayor parte de los historiadores de las matemáticas

parecen estar de acuerdo en atribuir a Nicole Oresme (1323-

1382) la primera aproximación al concepto de función, cuando

describió las leyes de la naturaleza como relaciones de

dependencia entre dos magnitudes. Fue el primero en hacer uso

sistemático de diagramas para representar magnitudes

variables en un plano.

En la revolución científica iniciada en el siglo XVI los

científicos centraron su atención en los fenómenos de la

naturaleza, poniendo énfasis en las relaciones entre las

variables que determinaban dichos fenómenos y que podían ser

expresadas en términos matemáticos. Era necesario comparar

las variables, relacionarlas, expresarlas mediante números y

representarlas en algún sistema geométrico adecuado.

Galileo Galilei (1564-1642) pareció entender el concepto de función aún con mayor

claridad. Sus estudios sobre el movimiento contienen la clara comprensión de una

relación entre variables. Entre las funciones que estudió Galileo destacan, por sus

sorprendentes consecuencias:

La función uno-a-uno n → n 2 entre los naturales

y sus cuadrados, que demuestra que hay tantos

números naturales como cuadrados perfectos.

Las funciones

f : C 1 → C 2 / f ( A ) = A ′

f − 1 : C 2 → C 1 / f − 1 ( B ) = B ′

que prueban que dos circunferencias, una con

doble radio que la otra, tienen el mismo número

de puntos

Casi al mismo tiempo que Galileo llegaba a estas ideas, Renè Descartes (1596-

1650) introducía la geometría analítica. Descartes desarrolló y llevó a sus

fundamentales consecuencias las ideas que siglos atrás se habían usado para

representar en el plano relaciones entre magnitudes. Ahora cualquier curva del plano

podía ser expresada en términos de ecuaciones y cualquier ecuación que relacionara

dos variables podía ser representada geométricamente en un plano .

A finales del siglo XVII aparece por primera vez el término función. En palabras de

Johann Bernoulli, una función es “una cantidad formada de alguna manera a partir de

cantidades indeterminadas y constantes”. Pero no fue hasta 1748 cuando concepto de

función saltó a la fama en matemáticas. Leonhard Euler, uno de los grandes genios de

las matemáticas de todos los tiempos, publicó un libro, Introducción al análisis infinito,

en el definió función como:

Una función de una cantidad variable es una expresión analítica

compuesta de cualquier manera a partir de la cantidad variable y de

números o cantidades constantes.

Pero Euler no define expresión analítica. Así que poco después, en 1755, tuvo que

precisar su definición:

Si algunas cantidades dependen de otras del tal

modo que si estas últimas cambian también lo hacen

las primeras, entonces las primeras cantidades se

llaman funciones de las segundas.

Pero la cosa seguía sin estar clara del todo: ¿cómo es

esa dependencia?, ¿cómo expresarla, calcularla o

representarla?, ¿cómo deben cambiar los valores de las

variables?, ¿cuántas variables pueden intervenir?, ...

Muchos matemáticos abordaron el problema de dar una definición precisa y

adecuada de función. Y así se pasaron casi dos siglos, puliendo poco a poco el

concepto, hasta que, ya en el siglo XX, Edouard Goursat dio en 1923 la definición que

aparece en la mayoría de los libros de textos hoy en día:

Se dice que y es una función de x si a cada valor de x le corresponde un único

valor de y. Esta correspondencia se indica mediante la ecuación y = ƒ(x)

DISTINTAS FORMAS DE EXPRESAR UNA FUNCIÓN

OPERACIONES BÁSICAS CON FUNCIONES

DOMINIO DE UNA FUNCIÓN VIENDO LA GRÁFICA

DOMINIO DE FUNCIONES ELEMENTALES

ACTIVIDAD ONLINE IDENTIFICAR GRÁFICAS VIDA REAL

CONTINUIDAD DE FUNCIONES

PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES

SIMETRÍA DE LAS FUNCIONES

PERIODICIDAD DE UNA FUNCIÓN

ASÍNTOTAS DE UNA FUNCIÓN

TASA DE VARIACION MEDIA DE UNA FUNCION

MONOTONÍA Y EXTREMOS A PARTIR DE UNA GRÁFICA