UNIDAD 7: FUNCIONES II
HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS
BIOGRAFÍA
Leonhard Euler
(Basilea, Suiza, 1707 - San Petersburgo, 1783) Matemático suizo. Las facultades que desde temprana edad demostró para las matemáticas pronto le ganaron la estima del patriarca de los Bernoulli, Johann, uno de los más eminentes matemáticos de su tiempo y profesor de Euler en la Universidad de Basilea.
Tras graduarse en dicha institución en 1723, cuatro años más tarde fue invitado personalmente por Catalina I para convertirse en asociado de la Academia de Ciencias de San Petersburgo, donde coincidió con otro miembro de la familia Bernoulli, Daniel, a quien en 1733 relevó en la cátedra de matemáticas. A causa de su extrema dedicación al trabajo, dos años más tarde perdió la visión del ojo derecho, hecho que no afectó ni a la calidad ni al número de sus hallazgos.
Hasta 1741, año en que por invitación de Federico II el Grande se trasladó a la Academia de Berlín, refinó los métodos y las formas del cálculo integral (no sólo gracias a resultados novedosos, sino también a un cambio en los habituales métodos de demostración geométricos, que sustituyó por métodos algebraicos), que convirtió en una herramienta de fácil aplicación a problemas de física. Con ello configuró en buena parte las matemáticas aplicadas de la centuria siguiente (a las que contribuiría luego con otros resultados destacados en el campo de la teoría de las ecuaciones diferenciales lineales), además de desarrollar la teoría de las funciones trigonométricas y logarítmicas (introduciendo de paso la notación e para definir la base de los logaritmos naturales).
En 1748 publicó la obra Introductio in analysim infinitorum, en la que expuso el concepto de función en el marco del análisis matemático, campo en el que así mismo contribuyó de forma decisiva con resultados como el teorema sobre las funciones homogéneas y la teoría de la convergencia. En el ámbito de la geometría desarrolló conceptos básicos como los del ortocentro, el circuncentro y el baricentro de un triángulo, y revolucionó el tratamiento de las funciones trigonométricas al adoptar ratios numéricos y relacionarlos con los números complejos mediante la denominada identidad de Euler; a él se debe la moderna tendencia a representar cuestiones matemáticas y físicas en términos aritméticos.
En el terreno del álgebra obtuvo así mismo resultados destacados, como el de la reducción de una ecuación cúbica a una bicuadrada y el de la determinación de la constante que lleva su nombre. A lo largo de sus innumerables obras, tratados y publicaciones introdujo gran número de nuevas técnicas y contribuyó sustancialmente a la moderna notación matemática de conceptos como función, suma de los divisores de un número y expresión del número imaginario raíz de menos uno. También se ocupó de la teoría de números, campo en el cual su mayor aportación fue la ley de la reciprocidad cuadrática, enunciada en 1783.
A raíz de ciertas tensiones con su patrón Federico el Grande, regresó nuevamente a Rusia en 1766, donde al poco de llegar perdió la visión del otro ojo. A pesar de ello, su memoria privilegiada y su prodigiosa capacidad para el tratamiento computacional de los problemas le permitieron continuar su actividad científica; así, entre 1768 y 1772 escribió sus Lettres à une princesse d'Allemagne, en las que expuso concisa y claramente los principios básicos de la mecánica, la óptica, la acústica y la astrofísica de su tiempo.
De sus trabajos sobre mecánica destacan, entre los dedicados a la mecánica de fluidos, la formulación de las ecuaciones que rigen su movimiento y su estudio sobre la presión de una corriente líquida, y, en relación a la mecánica celeste, el desarrollo de una solución parcial al problema de los tres cuerpos -resultado de su interés por perfeccionar la teoría del movimiento lunar-, así como la determinación precisa del centro de las órbitas elípticas planetarias, que identificó con el centro de la masa solar. Tras su muerte, se inició un ambicioso proyecto para publicar la totalidad de su obra científica, compuesta por más de ochocientos tratados, lo cual lo convierte en el matemático más prolífico de la historia.
VIDEOS WEB
FUNCIONES LINEALES
FUNCIONES CUADRÁTICAS
HIPÉRBOLAS
FUNCIÓN EXPONENCIAL I
FUNCIÓN EXPONENCIAL II
FUNCIÓN LOGARÍTMICA I
FUNCIÓN LOGARÍTMICA II
ASÍNTOTAS DE FUNCIONES RACIONALES
DOMINIO FUNCIONES RACIONALES
CÁLCULO DE LA RECTA TANGENTE A UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
REGLAS BÁSICAS DE LA DERIVACIÓN I
REGLAS BÁSICAS DE LA DERIVACIÓN II
CURIOSIDADES MATEMÁTICAS
‘Frikadas’ matemáticas de Google
La empresa capitaneada por Larry Page y Sergey Brin ha estado, y sigue estando, en contacto constante con las matemáticas. Repasamos cinco de las “frikadas” matemáticas más curiosas relacionadas con Google.
Hace unos días estaba releyendo “Los Simpson y las Matemáticas”, de Simon Singh, y me encontré con una anécdota curiosa relacionada con Google y las matemáticas que no recordaba de mi primera lectura del libro. Por ello, decidí recopilar algunas de las “frikadas” matemáticas de los chicos del gran buscador.
Porque los creadores de Google destacan por su gusto por las matemáticas, y buena prueba de ello es el propio nombre del buscador. Parece ser que la palabra “Google” está inspirada en el término “googol” (gúgol, en español), que designa al número compuesto por un uno seguido de 100 ceros. Es decir, el número 10100. Pero ésta no es la única cuestión curiosa sobre matemáticas relacionada con los chicos de Mountain View. Aquí os algunas de ellas.
Doodles matemáticos
Los doodles de Google son otro de los lugares donde, en ocasiones, nos sorprenden con auténticas maravillas. Para quien no lo sepa, estos doodles son los cambios en el logotipo de Google que, seguro, muchos de vosotros habéis visto en alguna ocasión, y cuyo principal objetivo suele ser celebrar algún evento que se esté produciendo en ese momento, recordar alguna efeméride importante, honrar un logro obtenido por alguna persona…
Entre ellos, ha habido unos cuantos dedicados a las matemáticas y a matemáticos. Por poner algunos ejemplos, hay doodles dedicados al número Pi, a Isaac Newton, a Pierre de Fermat, a Leonhard Euler o a Maria Gaetana Agnesi.
Pero entre todos los “doodles matemáticos” destaca, bajo mi punto de vista, el dedicado a Alan Turing por el centenario de su nacimiento, el 23 de junio de 2012. En él nos muestran una máquina de Turing con la que tenemos que resolver varios problemas de programación interactivos. Resolviendo los seis primeros (fáciles), conseguiremos colorear las seis letras de la palabra “Google”. Después, si actualizamos la página accederemos a otros seis nuevos problemas (más complejos).
Recompra “alfabética”
A mediados de 2015, Google se convirtió en Alphabet, pasando la propia Google a ser la filial de internet de ésta. Y en octubre de ese mismo año 2015, Alphabet anunció, entre otras cosas, una recompra de parte de sus propias acciones por unos 5000 millones de dólares. Concretamente, la cifra era la siguiente: 5,099,019,513.59 dólares (tenéis más información aquí).
Curiosamente, esa cifra coincide con los doce primeros dígitos de la raíz cuadrada de 26, con el punto decimal colocado de manera conveniente. Y, también curiosamente, 26 son las letras del alfabeto del inglés, del “alphabet”…
Una e-oferta
Sobre 2004, se encontraron carteles publicitarios en los que aparecía el siguiente mensaje:
www.{primer primo de 10 dígitos consecutivos del desarrollo de e}.com
Cualquiera que fuera un poco curioso se habría puesto a buscar entre los decimales del número e, 2.718281828459045235360287471…, el primer conjunto de diez decimales consecutivos que forman en sí mismo un número primo. Bien, pues después de un buen rato de búsqueda se puede ver que los decimales del 99 al 108 forman el número 7427466391, que efectivamente es un número primo.
Si después se accedía a www.7427466391.com, en dicha página nos encontrábamos un nuevo acertijo en el que se nos mostraban, en este orden, los números 7182818284, 8182845904, 8747135266 y 7427466391, y se nos pedía encontrar cuál sería el siguiente número de dicha secuencia. Si lo encontrabas y lo introducías en dicha web, se te mandaba una página en la que Google te invitaba a enviarles tu CV, ya que habiendo resuelto estos acertijos te consideraban potencialmente apto para trabajar para ellos.
Por cierto, el segundo acertijo os lo dejo a vosotros. Intentadlo, merece la pena pensar, pero por si acaso os dejo este enlace en el que Adrián Paenza nos cuenta en primera persona su historia con este cartel, y en donde también se muestra la solución del acertijo.
Pujas “extrañas”
Y, para finalizar, la “frikada” que leí en el libro que os comentaba al principio. En 2011, Google mostró su interés por pujar por un paquete de patentes propiedad de Nortel, una compañía canadiense de telefonía, puja en la que también acabaron entrando otras empresas tecnológicas como Apple o Microsoft.
En principio, Google informó de que estaría dispuesta a pagar unos 900 millones de dólares, pero a la hora de la verdad esa cantidad fue insuficiente, y tuvieron que realizar ofertas mayores. La primera que realizaron fue la siguiente: 1,902,160,540 dólares. No me quiero ni imaginar la cara que se le debió quedar a quienes vieron esa cifra. ¿Por qué esa cantidad tan, digamos, inusual? Pues se da la circunstancia de que dicha cantidad es, redondeando, mil millones de veces la constante de Brun B2, que es la suma de los inversos de los primos gemelos (podéis verla en la imagen principal).
Dicha cantidad fue superada, por lo que Google realizó una nueva puja, esta vez por la cantidad de 2,614,972,128 dólares. Como podéis apreciar, otra puja “extraña”. Y sí, de nuevo relacionada con las matemáticas: dicha cantidad es, redondeando de nuevo, mil millones de veces la constante de Meissel-Mertens, que se define como el límite, cuando n tiende a infinito, de la diferencia entre la serie armónica recorrida solamente entre los números primos y el logaritmo neperiano del logaritmo neperiano de n (ésta también la tenéis en la imagen principal del artículo).
Tampoco fue suficiente, ya que se realizaron ofertas por cantidades mayores. En un momento, la puja superaba los 3000 millones de dólares, y ahí Google volvió a entrar al trapo con una nueva oferta: 3,141.59 millones de dólares. Ésta os suena más, ¿verdad? Pues sí, ésta está, claramente, relacionada con el número Pi. De nuevo una puja “matemática”…
…pero, en este caso, Google no se salió con la suya. Ciertas alianzas entre algunas de las compañías que acudieron a la subasta trajeron consigo pujas superiores a esta cifra, y llegó un momento en el que Google se retiró de la subasta. Al final, dichas patentes se acabaron vendiendo por unos 4,500 millones de dólares.