TEMA 6: FUNCIONES

La evolución de la noción de función

El concepto de función es altamente considerado como uno de los más importantes en todas las matemáticas. Como el punto, la línea, y el plano eran elementos básicos en la geometría euclidiana, la teoría dominante desde el tiempo de la Grecia Antigua hasta la Era Moderna, las nociones de las funciones y derivadas constituyen los cimientos del análisis matemático, la teoría que se ha convertido en fundamental para el desarrollo de las matemáticas desde aquel entonces.

Instancias particulares de funciones pueden ser encontradas en épocas antiguas; por ejemplo, contar, implica una relación entre un conjunto de objetos dados y una secuencia de números para contar; las cuatro operaciones aritméticas elementales, las cuales son funciones de dos variables; y las tablas babilónicas de recíprocos, cuadrados, raíces cuadradas, cubos, y raíces cubicas. Históricamente, algunos matemáticos pueden ser considerados por haber previsto y haberse aproximado a una formulación moderna del concepto de función. Entre ellos se encuentra Oresme (1323- 1382), quien desarrolló una teoría geométrica de latitudes de formas representando diferentes grados de intensidad y extensión. En su teoría, algunas ideas generales acerca de cantidades variables dependientes e independientes parecen estar presentes. Pero el surgimiento de las funciones en la investigación matemática ha claramente individualizado el concepto como un objeto de estudio que bajo sus propios términos es bastante reciente, siendo datado a finales del Siglo XVII.

El surgimiento de una noción de función como una entidad matemática individual puede ser ubicado en los principios del cálculo infinitesimal. Descartes (1596-1650) claramente declaró que una ecuación de dos variables, geométricamente representada por una curva, indica una dependencia entre cantidades variables. La idea de la derivada provino de la necesidad de encontrar la tangente de cualquier punto de una curva. Newton (1642-1727) fue uno de los primeros matemáticos en demostrar como las funciones podrían ser desarrolladas en series potenciales infinitas, permitiendo así la intervención de procesos infinitos. Él usó “Fluent” para designar variables independientes, “Relata Quantitas” para indicar variables dependientes, y “Genita” para referirse a las cantidades obtenidas de otros utilizando las operaciones aritméticas fundamentales.

Fue Leibniz (1646-1716) quien por primera vez en la historia utilizaría el término “Función” en 1673. Él tomo una función para designar, en términos generales, la dependencia de cantidades geométricas tales como subtangentes y subnormales en la forma de una curva. Él además introdujo los términos “Constante”, “Variable”, y “Parámetro”. Con el desarrollo del estudio de curvas a través de métodos algebraicos, un término para representar cantidades que sean dependientes de una variable si una expresión analítica fuese cada vez más necesaria. Finalmente, “Función” fue adoptado con ese propósito en la correspondencia intercambiada entre Leibniz y Jean Bernoulli (1667-1748) entre los años 1694 y 1698.

El término función no apareció en el Léxico Matemático publicado en 1716. Dos años después Jean Bernoulli publicó un artículo el cual habría tenido una amplia difusión, conteniendo su definición de función de una variable como una cantidad que está compuesta de alguna manera de variables y constantes. Euler (1707-1793), un antiguo estudiante de Bernoulli, luego añadió su toque a esta definición hablando de expresiones analíticas en vez de cantidades.

La noción de función fue desde ese entonces identificada en la práctica con la noción de expresión analítica. Esta formulación fue rápidamente acusada de presentar incoherencias; de hecho, la misma función podría ser representada a través de diferentes expresiones analíticas. La formulación también presentó serias limitaciones en los tipos de funciones que podrían ser considerados. En la terminología de hoy en día, podríamos decir que la definición de Euler incluía únicamente las funciones analíticas, un subconjunto limitado de las ya pequeñas clases de funciones continuas.

Consciente de estas limitaciones, Euler propuso una definición alternativa que no atrajo mucha atención en su momento. Hasta donde le concierne a las matemáticas convencionales, la identificación de funciones con expresiones analíticas permanecería inalterada a lo largo del Siglo XVIII. En el Siglo XIX, sin embargo la noción de función sufrió sucesivos alargamientos y clarificaciones que cambiaron profundamente su naturaleza y significado.

Un empuje significativo hacia adelante en el alargamiento del concepto de función vino por primera vez de la famosa controversia sobre el problema de la cuerda que vibra. Este problema puede ser representado por esta ecuación Donde , la variable dependiente, indica el desplazamiento desde la posición de equilibrio, representa la distancia desde el origen, y indica el tiempo. La discusión, estimulada por d’Alembert (1717-1783), preocupado ya que las funciones deberían ser consideradas, de hecho, como soluciones de este problema, tenía a matemáticos tales como Euler y Daniel Bernoulli (1700-1782) discutiendo por una solución general.

Otra contribución importante a la evolución de la función vino de los trabajos de Fourier (1768-1830), quien estaba interesado en el problema del flujo de calor en un cuerpo material. Fourier consideró a la temperatura como una función de dos variables, llamase tiempo y espacio. En algún punto, él llegó a la conjetura de que sería posible obtener el desarrollo de cualquier función en una serie trigonométrica en un intervalo considerable. Fourier, sin embargo, nunca dio prueba matemática de su afirmación. El problema fue luego retomado por Dirichlet (1805-1859) quien formuló las suficientes condiciones para que una función pueda ser representada por una serie de Fourier. Para hacer tal cosa, Dirichlet necesitaba separar el concepto de función de su representación analítica. Él hizo esto en 1837, desarrollo la definición de función en términos de una correspondencia arbitraria entre variables representando conjuntos numéricos. Una función, entonces, se convirtió en una relación entre dos variables tales que para cada valor de la variable independiente, hay asociado un y solo un valor para la variable dependiente. Dirichlet también dió este bien conocido ejemplo de una función discontinua en todos los puntos del dominio [ ]:

Si es un número racional De lo contrario será 1

Con el desarrollo de la teoría de conjuntos, iniciada por Cantor (1845-1918), la notación de función continúa evolucionando. En el Siglo XX, función fue extendida para incluir todas las correspondencias arbitrarias que satisfagan la condición de singularidad entre conjuntos, numéricos o no-nUMÉRICOS.

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