UNIDAD 6: FUNCIONES I

El concepto de función comienza con las primeras relaciones observadas entre dos variables; esto es desde el comienzo del desarrollo de las matemáticas, es decir, entre los babilonios y los egipcios. Ya que se podría decir que los babilonios tenían una idea de las funciones mediante sus tablas de cuadrados de los números naturales, cubos de los números naturales y recíprocos de los números naturales por que son correspondencias, (pero no se les toma en cuenta). En las matemáticas griegas aparece Ptolomeo quien computó cuerdas de un círculo, es decir, computó funciones trigonométricas aunque lo mas probable es que no conocía lo que era una función. Con los trabajos de Galileo, se inicia una relación matemática explícita; se acerco mucho al concepto de función ya que, sus estudios sobre el movimiento contienen la clara comprensión de una relación entre variables. Por decir, en 1638 estudió el problema de dos círculos concéntricos con centro O, en el cual le asignaba a cada punto de A un punto de B. También hizo una correspondencia uno a uno estándar entre los enteros positivos y sus cuadrados; mas o menos en esos tiempos Descartes publico un Discurso sobre el Método de Conducir Rectamente la Razón y Buscar la Verdad de las Ciencias, en el año de 1637 escribió su obra La Geometrie en donde introdujo el algebra a la geometría, afirmo que una curva puede dibujarse si a una línea le asignan un numero de valores infinitos, y conceptualizo un sistema de coordenadas cartesianas.

La palabra función en el sentido no matemático fue adoptado en 1673 por Leibniz; la cual se definía como; cualquier cantidad que varía a lo largo de una curva; Johan Bernoulli en una carta para Leibniz describe la palabra función como: una cantidad formada de alguna manera apartir de cantidades indeterminadas y constantes. Conforme paso el tiempo, la palabra comenzó a difundirse y mejorarse. .A principios del siglo XVIII, algunos matemáticos se preguntan por la justificación de los procedimientos y las dificultades encontradas en el desarrollo de los principios y métodos del cálculo diferencial e integral. Entre estas dificultades de todas clases, pueden subrayarse las más importantes: el concepto de función es vago e impreciso; el uso abundante de las series infinitas sin tener en cuenta el concepto de convergencia conlleva el nacimiento de paradojas y de resultados incongruentes; las diversas tentativas para representar funciones mediante series de potencias, y en particular con la ayuda de series trigonométricas, se añaden a la confusión ya existente; finalmente, los conceptos fundamentales de límite, derivada e integral deben ser redefinidos con bastante más claridad y precisión En el siglo XVIII hubo confrontaciones entre algunos matemáticos al no estar de acuerdo con algunas variaciones del concepto; entre ellos estaba Euler y d’ Alembert. Ya que en 1748 el concepto función se dio a conocer en las matemáticas con la publicación de la obra: introductio in analysin infinitorum de Euler en el cual definió una función de cantidad variable como una expresión analítica compuesta de cualquier manera apartir de la cantidad variable y de números o cantidades constantes; también realizo un estudio sistemático de todas las funciones elementales, incluyendo sus derivadas e integrales él divide sus funciones en algebraicas y trascendentes (exponenciales, logaritmos…) el problema en el trabajo de Euler fue que no supo distinguir entre una función y su representación, para Euler una función continua se expresaba mediante una única expresión analítica (expresiones formadas por operaciones comunes de suma multiplicación, raíces, etc.), una función mixta se expresaba en términos de dos o mas expresiones analíticas, y una función discontinua incluía funciones mixtas pero eran mas generales, según tenían curvas dibujadas arbitrariamente como sus graficas, pero este concepto actualmente expresa el significado de las funciones continuas.

La representación de funciones se desarrolló gracias a la controversia suscitada a propósito del problema de la cuerda vibrante entre Euler y D’alembert porque en 1746 D’alembert publico la solución al problema de una cuerda tensa que vibra, diciendo que la función que determinaba la velocidad de cada uno de los puntos de la cuerda debía de ser expresada mediante una sola expresión analítica, pero Euler no estaba de acuerdo. . Euler, D'Alembert y Bernoulli encontraron soluciones a este problema en términos de funciones llamadas «arbitrarias» o de series infinitas de funciones trigonométricas, mientras que Lagrange, por su parte, introdujo una innovación al fundamentar el concepto de función sobre la serie de potencias.

En 1755 Euler publico otro libro “institutiones calculi differentialis” en este da una definición general del concepto función, decía: Si algunas cantidades dependen de otras del tal modo que si estas últimas cambian también lo hacen las primeras, entonces las primeras cantidades se llaman funciones de las segundas. Esta definición se aplica de manera más bien amplia e incluye todas las formas en que una cantidad puede ser determinada por otra. Si, por lo tanto, x denota una cantidad variable, entonces todas las cantidades que dependen de x de cualquier modo, o que son determinadas por ella, son llamadas funciones de x.

Aunque esta era prácticamente una definición totalmente aceptable, Euler la regó al desarrollar el cálculo diferencial de su libro usando solo funciones analíticas.

Poco a poco otros matemáticos fueron dándose cuenta de los errores que había cometido Euler; Cauchy fue uno de ellos, en 1844 demostró que una función mixta, dada por distintas formulas a veces si podía expresarse como un a sola formula la función y = x para x≥0, y = -x para x < 0

Podía expresarse mediante la fórmula y = √(x²)., por lo que evidencio que no tenia caso dividir las funciones como lo había hecho Euler (continuas y mixtas). También Fourier, demostró que la diferencia entre funciones continuas y discontinuas de Euler no existía, ya que se podían representar mediante lo que hoy llamamos series de Fourier

Condorcet retomo la definición general de Euler de 1755 .En 1778 Condorcet envío Traité du calcul integral a la Academia de París pero no fue publicado a pesar de eso muchos matemáticos franceses lo vieron. Condorcet distingue tres tipos de funciones: funciones explícitas, implícitas dadas solo por ecuaciones no resueltas y funciones que se definen a partir de consideraciones físicas tales como las que son solución de una ecuación diferencial.

Cauchy, en 1821, dio una definición en su obra Cours d’analyse:

Si cantidades variables son unidas entre ellas de tal modo que el valor de una de ellas está dado, se puede llegar a los valores de todas las otras; uno ordinariamente concibe estas distintas cantidades como expresadas mediante una de ellas, la cual entonces toma el nombre de variable independiente; las otras cantidades expresadas mediante la variable independiente son aquellas a las que se llaman funciones de esta variable.

Fourier, en Théorie analytique de la Chaleur en 1822, dio la siguiente definición:

En general, la función ƒ(x) representa una sucesión de valores u ordenadas cada uno de los cuales es arbitrario. Dados una infinidad de valores de la abscisa x, hay un número igual de ordenadas ƒ(x). Todas tienen valores numéricos, ya sean positivos, negativos o cero. No suponemos que estas ordenadas estén sujetas a una ley común; se siguen unas a otras de una forma cualquiera y cada una de ellas está dada como si fuera una cantidad sola. .Los trabajos de Fourier muestran también que se puede representar una función en un intervalo completo, Además, hacen más aceptables las representaciones de funciones efectuadas por Euler y Laplace por medio de las funciones de Bessel y los polinomios de Legendre, y muestran cómo se puede resolver una ecuación diferencial teniendo en cuenta las condiciones en los límites impuestas a la solución de la ecuación

En el siglo XIX se estableció que el concepto de función no necesitaba de una formula explicita. En 1829 Dirichlet demostró algunos resultados en relación a las series de Fourier y aclaro las diferencias entre una función

Y en 1837, Peter Gustav Lejeune Dirichlet formulo la base de la definición moderna, aceptó la definición de función de Fourier e inmediatamente de dar esta definición, definió una función continua (usando continuo en el sentido moderno). Dirichlet también dio un ejemplo de una función definida en el intervalo [0,1] que es discontinua en todos sus puntos; ésta es ƒ(x) definida como 0 si x es racional y 1 si x es irracional. Después de esto algunos matemáticos dieron su propia definición que variaban muy poco:En 1838, Lobachevsky dio una definición de una función general que todavía necesitaba que ésta fuera continua:

Una función de x es un número que está dado para cada x y que cambia gradualmente junto con x. El valor de la función puede estar dado mediante una expresión analítica o mediante una condición que ofrece una manera de probar todos los números y seleccionar uno de ellos o, finalmente, la dependencia puede existir pero ser desconocida.

Sin duda la función discontinua en todos los puntos de Dirichlet no sería una función bajo la definición de Lobachervsky. Hankel, en 1870, deploró la confusión que aún reinaba sobre el concepto de función:

Una persona define función esencialmente en el sentido de Euler, otra requiere que y debe cambiar con x según alguna ley, sin dar una explicación de este obscuro concepto; la tercer la define en la misma manera que Dirichlet, la cuarta sin más no la define. Sin embargo, todo el mundo deduce de su concepto conclusiones que no están contenidas en él.

RECONOCER FUNCIONES GRÁFICAMENTE

FUNCIONES A TROZOS

DOMINIO DE UNA FUNCIÓN

IMAGEN DE UNA FUNCIÓN

OPERACIONES CON FUNCIONES I

OPERACIONES CON FUNCIONES II

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES I

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES II

FUNCIÓN INVERSA

PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES

SIMETRÍA DE UNA FUNCIÓN I

SIMETRÍA DE UNA FUNCIÓN II

PERIODICIDAD DE UNA FUNCIÓN

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN

MONOTONÍA, MÁXIMOS Y MÍNIMOS I

MONOTONÍA, MÁXIMOS Y MÍNIMOS II

TASA DE VARIACIÓN MEDIA DE UNA FUNCIÓN