UNIDAD 6: FUNCIONES

HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS

Hay en la historia de la ciencia en general y en la de la matemática en partícular momentos especialmente brillantes en los que se produce la puesta en contacto de dos campos de investigación hasta ese momento separados. Este encuentro permite aplicar las técnicas desarrolladas para resolver ciertos problemas a la resolución de otros en apariencia completamente distintos pero que de pronto se revelan equivalentes a los originales. El resultado es una auténtica revolución en la que el habitualmente pausado avance de la ciencia se hace vertiginoso.

Uno de estos momentos felices se produjo en el siglo XVII con la invención de la geometría análítica. Dejemos que sea su inventor, René Descartes, quien describa el programa de esta especialidad matemática:

"Entonces, si queremos resolver cualquier problema, supondremos primero que la solución ya está efectuada y daremos nombres a todas las líneas que parezcan necesarias para su construcción, tanto a aquellas que son desconocidas como a las que ya lo son. Entonces, sin hacer distinción entre líneas conocidas o desconocidas, debemos desentrañar la dificultad de manera que muestre lo más naturalmente las relaciones entre esas líneas, hasta que encontremos posible expresar una cantidad simple de dos maneras. Esto constituirá una ecuación, dado que los términos de una de esas dos expresiones son en conjunto iguales a los términos de la otra." [La Géométrie, p.6.]

La geometría analítica se basa pues en una correspondencia entre las curvas estudiadas por la geometría y las ecuaciones estudiadas por el álgebra, lo que permite reformular los problemas geométricos en términos algebraicos. Esta correspondencia se basa, a su vez, en la correspondencia que establecieron simultáneamente Descartes y Pierre de Fermat entre los puntos del plano y los pares ordenados de números: las coordenadas.

Coordenadas cartesianas o rectangulares

Se cuenta que el origen de todo esto fue en verdad sosegado: un día, tirado en la cama de mañana, mientras veía el movimiento de una mosca por el techo, Descartes ideó la forma de representar un punto mediante un par de números que indicasen su distancia respecto de dos de las paredes del cuarto.

Independientemente de la veracidad de la historia, lo cierto es que el sistema de coordenadas que Descartes expuso en su obra La Géométrie no era exactamente como el que usamos hoy (vamos, que las coordenadas que utilizaba Descartes no eran cartesianas): solo el eje horizontal era dado, mientras que el otro se escogía, no necesariamente perpendicular, según las circunstancias del problema. Además, solo consideraba las curvas dentro del primer cuadrante.

Como se ha dicho, Fermat también dio los primeros pasos de la geomería analítica, y utilizó además preferentemente ejes perpendiculares. Sin embargo, una publicación posterior y una notación farragosa impidieron que llegara a tener la influencia que tuvo La Géométrie de su colega y compatriota.

Una vez establecida la correspondencia entre puntos y coordenadas, el siguiente concepto necesario para el desarrollo de la geometría analítica es el de lugar geométrico, ya manejado por autores antiguos como Apolonio. Consiste en considerar conjuntos formados por los puntos que cumplen unas determinadas condiciones. Si estas condiciones se expresan como una relación entre las coordenadas de un punto genérico, tenemos la ecuación de la curva.

La circunferencia de radio 1 centrada en el origen se puede describir como el lugar geométrico de los puntos del plano que distan una unidad del origen (el punto O). Si llamamos x e y a las coordenadas de un punto cualquiera de la circunferencia y aplicamos el teorema de Pitágoras al triángulo recto que se ve en la figura, se tiene que . Pues bien: esta relación entre las coordenadas de un punto genérico es a lo que se llama ecuación de la curva. Su sentido es claro: cualquier par de números que cumplan la ecuación son coordenadas de un punto del lugar geométrico.

Coordenadas polares

Siendo el truco magnífico, en algunos casos las ecuaciones obtenidas mediante las coordenadas cartesianas son bastante farragosas. Por eso se buscaron otras correspondencias entre geometría y álgebra, entre puntos y números. Así, en su obra Método de Fluxiones (1671), Newton presentó hasta ocho tipos distintos de sistemas de coordenadas. Su “séptima manera” es lo que hoy conocemos por coordenadas polares. (Se cree que las inventó Newton, aunque la prioridad de la publicación se debe a Jacques Bernouilli).

En cierto sentido son más naturales que las cartesianas, pues de lo que se trata es de localizar un punto mediante su distancia (el módulo) al lugar que se elija como origen de coordenadas y su orientación (el argumento) respecto de una semirrecta que hemos elegido como ángulo cero.

Coordenadas paramétricas

La generalización en el uso de un nuevo sistema de representación más sofisticado se debe al genio de Euler y Gauss, quienes lo usaron ampliamente en el estudio de curvas y superficies. Las coordenadas paramétricas tiene la ventaja de ser intrínsecas, pues no dependen de unos ejes externos como en el caso de las coordenadas cartesianas, sino que se basan en un sistema de referencia incluido en el propio objeto. Además, el número de parámetros necesarios para describir el objeto geomético estudiado indica su dimensión (uno en el caso de las curvas).

Un ejemplo de coordenadas paramétricas son las utilizadas sobre la Tierra (la longitud y la latitud), dos parámetros que no se refieren a un sistema de coordenadas cartesiano externo a nuestro planeta, que sería de tres dimensiones, sino a unos círculos imaginarios situados sobre la propia superficie terrestre, que obviamente es bidimensional (siempre que nos olvidemos, claro está, de pequeñas rugosidades como cordilleras y fosas marinas).

Para poder visualizar el objeto estudiado necesitamos poder transformar las coordenadas paramétricas en coordenadas cartesianas. Para ello se expresan las relaciones entre ambos sistemas de representación mediante las llamadas ecuaciones paramétricas, que tienen además la característica de generar la curva.


Para terminar

Si la geometría analítica nació con la idea de convertir las curvas en ecuaciones, el camino de vuelta, consistente en la invención de nuevas curvas a partir de ecuaciones, resultó una sorpresa extraordinaria. Un nuevo mundo había sido descubierto y las limitaciones de la geometría con regla y compás olvidadas para siempre.

VIDEOS

DIFERNCIA ENTRE FUNCIÓN Y CORRESPONDENCIA

PUNTOS Y COORDENADAS CARTESIANAS

DIFERENTES FORMAS DE EXPRESAR UNA FUNCIÓN

¿ES UNA FUNCIÓN O NO?

DOMINIO Y RECORRIDO DE UNA GRÁFICA

FUNCIÓN CONTÍNUA O DISCONTÍNUA

EJEMPLO ESTUDIO MONOTONÍA

MÁXIMO Y MÍNIMO DE UNA FUNCIÓN

PENDIENTE DE UNA FUNCIÓN LINEAL: MONOTONÍA Y CÁLCULO CON 2 PUNTOS

FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA

ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR 2 PUNTOS

ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR UN PUNTO CONOCIDA SU PENDIENTE

ECUACIÓN DE LA RECTA CONOCIDO UN PUNTO Y SU ORDENADA AL ORIGEN

POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS: VER DESPUÉS LOS EJEMPLOS DEL CANAL

CURIOSIDADES MATEMÁTICAS

Cinco ‘frikadas’ matemáticas de Google

La empresa capitaneada por Larry Page y Sergey Brin ha estado, y sigue estando, en contacto constante con las matemáticas. Repasamos cinco de las “frikadas” matemáticas más curiosas relacionadas con Google.

Porque los creadores de Google destacan por su gusto por las matemáticas, y buena prueba de ello es el propio nombre del buscador. Parece ser que la palabra “Google” está inspirada en el término “googol” (gúgol, en español), que designa al número compuesto por un uno seguido de 100 ceros. Es decir, el número 10100. Pero ésta no es la única cuestión curiosa sobre matemáticas relacionada con los chicos de Mountain View. Aquí os dejo cinco de ellas.

Graficador 2D-3D

Quizás esto no es una “frikada” propiamente dicha, pero sí es cierto que es algo curioso y, posiblemente, no muy conocido entre la gran mayoría de las personas acostumbradas a utilizar el buscador con cierta frecuencia.

Google nos da la posibilidad de representar gráficamente funciones de una y dos variables a través del propio buscador. Para ello, simplemente tenemos que introducir la función a representar en la caja de texto habitual, como si fuéramos a realizar una búsqueda cualquiera, y Google nos mostrará una representación gráfica de nuestra función, además de los resultados de búsqueda asociados a la misma. También podremos mover la imagen, para poder ver distintas zonas, y alejarnos o acercarnos mediante zoom.

Como decía, esto se puede hacer tanto para funciones de una variable (lo que nos daría una gráfica en dos dimensiones) como para funciones de dos variables (obteniendo entonces una representación en tres dimensiones).

Doodles matemáticos

Los doodles de Google son otro de los lugares donde, en ocasiones, nos sorprenden con auténticas maravillas. Para quien no lo sepa, estos doodles son los cambios en el logotipo de Google que, seguro, muchos de vosotros habéis visto en alguna ocasión, y cuyo principal objetivo suele ser celebrar algún evento que se esté produciendo en ese momento, recordar alguna efeméride importante, honrar un logro obtenido por alguna persona…

Entre ellos, ha habido unos cuantos dedicados a las matemáticas y a matemáticos. Por poner algunos ejemplos, hay doodles dedicados al número Pi, a Isaac Newton, a Pierre de Fermat, a Leonhard Euler o a Maria Gaetana Agnesi.

Pero entre todos los “doodles matemáticos” destaca, bajo mi punto de vista, el dedicado a Alan Turing por el centenario de su nacimiento, el 23 de junio de 2012. En él nos muestran una máquina de Turing con la que tenemos que resolver varios problemas de programación interactivos. Resolviendo los seis primeros (fáciles), conseguiremos colorear las seis letras de la palabra “Google”. Después, si actualizamos la página accederemos a otros seis nuevos problemas (más complejos).

Recompra “alfabética”

A mediados de 2015, Google se convirtió en Alphabet, pasando la propia Google a ser la filial de internet de ésta. Y en octubre de ese mismo año 2015, Alphabet anunció, entre otras cosas, una recompra de parte de sus propias acciones por unos 5000 millones de dólares. Concretamente, la cifra era la siguiente: 5,099,019,513.59 dólares (tenéis más información aquí).

Curiosamente, esa cifra coincide con los doce primeros dígitos de la raíz cuadrada de 26, con el punto decimal colocado de manera conveniente. Y, también curiosamente, 26 son las letras del alfabeto del inglés, del “alphabet”…

Una e-oferta

Sobre 2004, se encontraron carteles publicitarios en los que aparecía el siguiente mensaje:

www.{primer primo de 10 dígitos consecutivos del desarrollo de e}.com

Cualquiera que fuera un poco curioso se habría puesto a buscar entre los decimales del número e, 2.718281828459045235360287471…, el primer conjunto de diez decimales consecutivos que forman en sí mismo un número primo. Bien, pues después de un buen rato de búsqueda se puede ver que los decimales del 99 al 108 forman el número 7427466391, que efectivamente es un número primo.

Si después se accedía a www.7427466391.com, en dicha página nos encontrábamos un nuevo acertijo en el que se nos mostraban, en este orden, los números 7182818284, 8182845904, 8747135266 y 7427466391, y se nos pedía encontrar cuál sería el siguiente número de dicha secuencia. Si lo encontrabas y lo introducías en dicha web, se te mandaba una página en la que Google te invitaba a enviarles tu CV, ya que habiendo resuelto estos acertijos te consideraban potencialmente apto para trabajar para ellos.

Por cierto, el segundo acertijo os lo dejo a vosotros.

Pujas “extrañas”

Y, para finalizar, la “frikada” que leí en el libro que os comentaba al principio. En 2011, Google mostró su interés por pujar por un paquete de patentes propiedad de Nortel, una compañía canadiense de telefonía, puja en la que también acabaron entrando otras empresas tecnológicas como Apple o Microsoft.

En principio, Google informó de que estaría dispuesta a pagar unos 900 millones de dólares, pero a la hora de la verdad esa cantidad fue insuficiente, y tuvieron que realizar ofertas mayores. La primera que realizaron fue la siguiente: 1,902,160,540 dólares. No me quiero ni imaginar la cara que se le debió quedar a quienes vieron esa cifra. ¿Por qué esa cantidad tan, digamos, inusual? Pues se da la circunstancia de que dicha cantidad es, redondeando, mil millones de veces la constante de Brun B2, que es la suma de los inversos de los primos gemelos.

Dicha cantidad fue superada, por lo que Google realizó una nueva puja, esta vez por la cantidad de 2,614,972,128 dólares. Como podéis apreciar, otra puja “extraña”. Y sí, de nuevo relacionada con las matemáticas: dicha cantidad es, redondeando de nuevo, mil millones de veces la constante de Meissel-Mertens, que se define como el límite, cuando n tiende a infinito, de la diferencia entre la serie armónica recorrida solamente entre los números primos y el logaritmo neperiano del logaritmo neperiano de n.

Tampoco fue suficiente, ya que se realizaron ofertas por cantidades mayores. En un momento, la puja superaba los 3000 millones de dólares, y ahí Google volvió a entrar al trapo con una nueva oferta: 3,141.59 millones de dólares. Ésta os suena más, ¿verdad? Pues sí, ésta está, claramente, relacionada con el número Pi. De nuevo una puja “matemática”…

…pero, en este caso, Google no se salió con la suya. Ciertas alianzas entre algunas de las compañías que acudieron a la subasta trajeron consigo pujas superiores a esta cifra, y llegó un momento en el que Google se retiró de la subasta. Al final, dichas patentes se acabaron vendiendo por unos 4,500 millones de dólares.