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No triângulo equilátero, todos os lados são congruentes, todos os ângulos internos são congruentes (medem 60º) e toda altura é também bissetriz (divide o ângulo ao meio) e mediana (divide o lado oposto ao meio). Veja o cálculo da área, usando a base (L) e a altura (h):
O triângulo AMC é retângulo em M e, portanto, vale a relação de Pitágoras:
L² = h² + (L/2)²
L² = h² + L²/4
h² = L² - L²/4
h² = 3L²/4
h = L√3/2
Logo, a área do triângulo ABC é dada por (b · h)/2 ou ½(b · h):
A = ½(L · L√3/2)
A = ½(L ²· √3/2)
A = L ²· √3/4
Em um triângulo equilátero de lado L, temos que sua área poderá ser determinada por A = L ²· √3/4
Tarefa
Tarefa
Tarefa 7: Determine a área do quadrilátero ABCD representado na figura, sabendo que: AB = 6 cm; AD = 10 cm; a diagonal AC determina com os lados AD e CD ângulos de 60°; e o lado BC é perpendicular ao lado AB.
Resolução: A área A do quadrilátero ABCD é tal que A = A1 + A2, em que A1 e A2 são as áreas dos triângulos ACD e ABC, respectivamente.
• Cálculo de A1 - Como med(ACD) = med(DÂC) = 60°, então med(ADC) = 60°, ou seja, o ΔACD é equilátero e sua área é dada por:
A1 = L²·√3/4
A1 = 10²·√3/4
A1= 25√3 cm²
• Cálculo de A2 - Como o ΔABC é retângulo em B, então, pelo Teorema de Pitágoras, temos:
AC² = BC² + AB²
10² = BC² + 6²
100 = BC² + 36
BC² = 64
BC = 8
Assim, A2 = ½(BC)·(AB) = ½ · 8 · 6 ⇒ A2 = 24 cm².
Logo, a área do quadrilátero ABCD é A = A1 + A2 = (25√3 + 24) cm².
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