Área do losango

Todo losango é um paralelogramo, daí a área dele poder ser calculada como o produto da base pela altura. Entretanto, em geral, as dimensões de um losango são expressas pelas medidas de suas diagonais D e d.

Todo losango tem a mesma área de um retângulo com altura D e base d/2, como mostram as figuras ao lado.

Portanto:

A área de um losango é igual à metade do produto das medidas das diagonais. Ou seja,

A = D . d/2 ⟹ A = (D · d)/2

Voltando ao caso do quadrado...

Conforme vimos na classificação dos quadriláteros, todo quadrado é um losango retângulo. Daí, a fórmula da área do losango pode também ser usada para obter-se a expressão da área de um quadrado.

Se L é a medida do lado de um quadrado, pelo Teorema de Pitágoras, temos que D = d = L√2. Assim, a área do quadrado será determinada pela fórmula do losango: A = (L√2 · L√2)/2 ⟹ A = (L² · 2)/2 ⟹ A = L². Portanto:

A área de um quadrado é igual à metade do produto das medidas das diagonais. A = (D · d)/2 = L².

Tarefa

Tarefa 4: Determine a área do losango cujo lado mede 6 dm e um dos ângulos internos mede 120°.

Resolução: Para determinar o comprimento da diagonal maior (D), vamos determinar a medida do segmento BO do triângulo ABO e depois multiplicar por dois, visto que D = BD = 2·BO:

sen 60º = BO/6 ⇒ BO = 6·sen 60º ⇒ BO = 6·√3/2 ⇒ BO = 3√3

D = BD = 2·BO ⇒ D = 2·3√3 ⇒ D = 6√3

Para determinar o comprimento da diagonal menor (d), vamos determinar a medida do segmento AO do triângulo ABO e depois multiplicar por dois, visto que d = AC = 2·AO:

cos 60º = AO/6 ⇒ AO = 6·cos 60º ⇒ AO = 6·1/2 ⇒ AO = 3

d = AC = 2·AO ⇒ d = 2·3 ⇒ d = 6

Agora vamos à área do losango:

A = (D·d)/2 ⇒ A = (6√3·6)/2 ⇒ A = (36√3)/2 ⇒ A = 18√3 dm²

Desafio

Utilizando a fórmula de área do paralelogramo, determine a área do losango cujo lado mede 6 dm e um dos ângulos internos mede 120°. Ou seja, resolva a tarefa 4 novamente, mas considerando que o losango é, também, um paralelogramo.

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