Extended Collapsing-E notation

Previous sneak peak

As I imagined the limit of the Extended Collapsing-E notation that the limit of the notation should end up with the Buchholz's ordinal level, as we define the fundamental sequence as follows (using the ordinal level fundamental sequence array from the Ordinal Explorer by Rgetar):

0

• [0] ψ_0(1) = ω

• [1] ψ_0(Ω) = ε0

• [2] ψ_0(Ω_2) = Bachmann-Howard ordinal (BHO)

  • [3,2,1,1,1,0,2,1,1,1,0] ψ_0(Ω_2) + 1

    • [3,2,1,1,1,0,2,1,1,1,1] ψ_0(Ω_2) + ε0

      • [3,2,1,1,1,0,2,1,1,1,2] ψ_0(Ω_2) + ζ0

        • [3,2,1,1,1,0,2,1,1,1,3] ψ_0(Ω_2) + Γ0

          • ...

  • [3,2,1,1,1,0,2,1,1,1] ψ_0(Ω_2)*2

    • [3,2,1,1,1,0,2,1,1,2] ψ_0(Ω_2)^2

      • [3,2,1,1,1,0,2,1,1,3] ψ_0(Ω_2)^ψ_0(Ω_2)

        • ...

  • [3,2,1,1,1,0,2,1,1] ε(ψ_0(Ω_2) + 1)

    • [3,2,1,1,1,0,2,1,2] ζ(ψ_0(Ω_2) + 1)

      • [3,2,1,1,1,0,2,1,3] Γ(ψ_0(Ω_2) + 1)

        • [3,2,1,1,1,0,2,1,4] φ(1 @{1, 0}, ψ_0(Ω_2) + 1)

          • ...

  • [3,2,1,1,1,0,2,1] ψ_0(Ω_2 + ε(Ω + 1))

    • [3,2,1,1,1,0,2,2] ψ_0(Ω_2 + ε(Ω + 1)^2)

      • [3,2,1,1,1,0,2,3] ψ_0(Ω_2 + ε(Ω + 1)^ε(Ω + 1))

        • ...

  • [3,2,1,1,1,0,2] ψ_0(Ω_2*2)

    • [3,2,1,1,1,0,3] ψ_0(Ω_2*3)

      • [3,2,1,1,1,0,4] ψ_0(Ω_2*4)

        • ...

  • [3,2,1,1,1,0] ψ_0(Ω_2*ω)

    • [3,2,1,1,1,1] ψ_0(Ω_2*ε0)

      • [3,2,1,1,1,2] ψ_0(Ω_2*ζ0)

        • [3,2,1,1,1,3] ψ_0(Ω_2*Γ0)

          • ...

  • [3,2,1,1,1] ψ_0(Ω_2*ψ_0(Ω_2))

    • [3,2,1,1,2] ψ_0(Ω_2*ψ_0(Ω_2*ψ_0(Ω_2)))

      • [3,2,1,1,3] ψ_0(Ω_2*ψ_0(Ω_2*ψ_0(Ω_2*ψ_0(Ω_2))))

        • ...

  • [3,2,1,1] ψ_0(Ω_2*Ω)

    • [3,2,1,2] ψ_0(Ω_2*Ω^Ω)

      • [3,2,1,3] ψ_0(Ω_2*Ω^Ω^Ω)

        • ...

  • [3,2,1] ψ_0(Ω_2*ε(Ω + 1))

    • [3,2,2] ψ_0(Ω_2*εε(Ω + 1))

      • [3,2,3] ψ_0(Ω_2*εεε(Ω + 1))

        • ...

  • [3,2] ψ_0(Ω_2^2)

    • [3,3,1,1,1,1,1,0,2,1,1,1,1,1,0,2,0,1,1,1] ε(ψ_0(Ω_2^2) + 1)

    • [3,3,1,1,1,1,1,0,2,1,1,1,1,1,0,2,0,1,1] ψ_0(Ω_2^2 + ε(Ω + 1))

    • [3,3,1,1,1,1,1,0,2,1,1,1,1,1,0,2,0,1] ψ_0(Ω_2^2 + ζ(Ω + 1))

    • [3,3,1,1,1,1,1,0,2,1,1,1,1,1,0,2,0] ψ_0(Ω_2^2 + Ω_2)

    • [3,3,1,1,1,1,1,0,2,1,1,1,1,1,0,2] ψ_0(Ω_2^2*2)

    • [3,3,1,1,1,1,1,0,2,1,1,1,1,1,0] ψ_0(Ω_2^2*ω)

    • [3,3,1,1,1,1,1,0,2,1,1,1,1,1] ψ_0(Ω_2^2*ψ_0(Ω_2))

    • [3,3,1,1,1,1,1,0,2,1,1,1,1] ψ_0(Ω_2^2*ψ_0(Ω_2^2))

    • [3,3,1,1,1,1,1,0,2,1,1,1] ψ_0(Ω_2^2*Ω)

    • [3,3,1,1,1,1,1,0,2,1,1] ψ_0(Ω_2^2*ε(Ω + 1))

    • [3,3,1,1,1,1,1,0,2,1] ψ_0(Ω_2^2*ζ(Ω + 1))

    • [3,3,1,1,1,1,1,0,2] ψ_0(Ω_2^3)

    • [3,3,1,1,1,1,1,0] ψ_0(Ω_2^ω)

    • [3,3,1,1,1,1,1] ψ_0(Ω_2^ψ_0(Ω_2))

    • [3,3,1,1,1,1] ψ_0(Ω_2^ψ_0(Ω_2^2))

    • [3,3,1,1,1] ψ_0(Ω_2^Ω)

    • [3,3,1,1] ψ_0(Ω_2^ε(Ω + 1))

    • [3,3,1] ψ_0(Ω_2^ζ(Ω + 1))

    • [3,3] ψ_0(Ω_2^Ω_2)

      • [3,4] ψ_0(Ω_2^Ω_2^Ω_2)

        • [3,5] ψ_0(Ω_2^Ω_2^Ω_2^Ω_2)

          • ...

  • [3] ψ_0(Ω_3)

    • [4,2,1,1,1,1,0,1,0,2,1,1,1,0] ε(ψ_0(Ω_3) + 1)

    • [4,2,1,1,1,1,0,1,0,2,1,1,1] ψ_0(Ω_3 + ψ_1(Ω_3))

    • [4,2,1,1,1,1,0,1,0,2,1,1] ψ_0(Ω_3 + Ω_2)

    • [4,2,1,1,1,1,0,1,0,2,1] ψ_0(Ω_3 + ε(Ω_2 + 1))

    • [4,2,1,1,1,1,0,1,0,2] ψ_0(Ω_3*2)

    • [4,2,1,1,1,1,0,1,0] ψ_0(Ω_3*ω)

    • [4,2,1,1,1,1,0,1] ψ_0(Ω_3*ψ_0(Ω_3))

    • [4,2,1,1,1,1,0] ψ_0(Ω_3*Ω)

    • [4,2,1,1,1] ψ_0(Ω_3*ψ_1(Ω_3))

    • [4,2,1,1] ψ_0(Ω_3*Ω_2)

    • [4,2,1] ψ_0(Ω_3*ε(Ω_2 + 1))

    • [4,2] ψ_0(Ω_3^2)

    • [4] ψ_0(Ω_4)

      • [5,2,1,1,1,0,1,0,1,0,2,1,1,1,0,1,0,1,0] ε(ψ_0(Ω_4) + 1)

      • [5,2,1,1,1,0,1,0,1,0,2,1,1,1,0,1,0,1] ψ_0(Ω_4 + ψ_0(Ω_4))

      • [5,2,1,1,1,0,1,0,1,0,2,1,1,1,0,1,0] ψ_0(Ω_4 + Ω)

      • [5,2,1,1,1,0,1,0,1,0,2,1,1,1,0,1] ψ_0(Ω_4 + ψ_1(Ω_4))

      • [5,2,1,1,1,0,1,0,1,0,2,1,1,1,0] ψ_0(Ω_4 + Ω_2)

      • [5,2,1,1,1,0,1,0,1,0,2,1,1,1] ψ_0(Ω_4 + ψ_2(Ω_4))

      • [5,2,1,1,1,0,1,0,1,0,2,1,1] ψ_0(Ω_4 + Ω_3)

      • [5,2,1,1,1,0,1,0,1,0,2,1] ψ_0(Ω_4 + ε(Ω_3 + 1))

      • [5,2,1,1,1,0,1,0,1,0,2] ψ_0(Ω_4*2)

      • [5,2,1,1,1,0,1,0,1,0] ψ_0(Ω_4*ω)

      • [5,2,1,1,1,0,1,0,1] ψ_0(Ω_4*ψ_0(Ω_4))

      • [5,2,1,1,1,0,1,0] ψ_0(Ω_4*Ω)

      • [5,2,1,1,1,0,1] ψ_0(Ω_4*ψ_1(Ω_4))

      • [5,2,1,1,1,0] ψ_0(Ω_4*Ω_2)

      • [5,2,1,1,1] ψ_0(Ω_4*ψ_2(Ω_4))

      • [5,2,1,1] ψ_0(Ω_4*Ω_3)

      • [5,2,1] ψ_0(Ω_4*ε(Ω_3 + 1))

      • [5,2] ψ_0(Ω_4^2)

      • [5] ψ_0(Ω_5)

        • [6] ψ_0(Ω_6)

          • [7] ψ_0(Ω_7)

            • [8] ψ_0(Ω_8)

              • ...

[Limit] ψ_0(Ω_ω)

Then the fundamental sequence of each delimiters would be:

0

• [0] ψ_0(1) = ω · #

• [1] ψ_0(Ω) = ε0 · #^^#

• [2] ψ_0(Ω_2) = Bachmann-Howard ordinal (BHO) · #{&_2}#

  • [3,2,1,1,1,0,2,1,1,1,0] ψ_0(Ω_2) + 1 · #{&_2}#+1

    • [3,2,1,1,1,0,2,1,1,1,1] ψ_0(Ω_2) + ε0 · #{&_2}#+#^^#

      • [3,2,1,1,1,0,2,1,1,1,2] ψ_0(Ω_2) + ζ0 · #{&_2}#+#^^##

        • [3,2,1,1,1,0,2,1,1,1,3] ψ_0(Ω_2) + Γ0 · #{&_2}#+#^^^#

          • ...

  • [3,2,1,1,1,0,2,1,1,1] ψ_0(Ω_2)*2 · #{&_2}#+#{&_2}#

    • [3,2,1,1,1,0,2,1,1,2] ψ_0(Ω_2)^2 · #{&_2}#*#{&_2}#

      • [3,2,1,1,1,0,2,1,1,3] ψ_0(Ω_2)^ψ_0(Ω_2) · (#{&_2}#)^(#{&_2}#)

        • ...

  • [3,2,1,1,1,0,2,1,1] ε(ψ_0(Ω_2) + 1) · (#{&_2}#)^^#

    • [3,2,1,1,1,0,2,1,2] ζ(ψ_0(Ω_2) + 1) · (#{&_2}#)^^##

      • [3,2,1,1,1,0,2,1,3] Γ(ψ_0(Ω_2) + 1) · (#{&_2}#)^^^#

        • [3,2,1,1,1,0,2,1,4] φ(1 @{1, 0}, ψ_0(Ω_2) + 1) · (#{&_2}#){&^&}#

          • ...

  • [3,2,1,1,1,0,2,1] ψ_0(Ω_2 + ε(Ω + 1)) · (#{&_2}#){(&_2)_1}#

    • [3,2,1,1,1,0,2,2] ψ_0(Ω_2 + ε(Ω + 1)^2) · (#{&_2}#){(&_2)_1+(&_2)_1}#

      • [3,2,1,1,1,0,2,3] ψ_0(Ω_2 + ε(Ω + 1)^ε(Ω + 1)) · (#{&_2}#){(&_2)_1*(&_2)_1}#

        • ...

  • [3,2,1,1,1,0,2] ψ_0(Ω_2*2) · (#{&_2}#){&_2}#

    • [3,2,1,1,1,0,3] ψ_0(Ω_2*3) · ((#{&_2}#){&_2}#){&_2}#

      • [3,2,1,1,1,0,4] ψ_0(Ω_2*4) · (((#{&_2}#){&_2}#){&_2}#){&_2}#

        • ...

  • [3,2,1,1,1,0] ψ_0(Ω_2*ω) · #{&_2}#>#

    • [3,2,1,1,1,1] ψ_0(Ω_2*ε0) · #{&_2}#>#^^#

      • [3,2,1,1,1,2] ψ_0(Ω_2*ζ0) · #{&_2}#>#^^##

        • [3,2,1,1,1,3] ψ_0(Ω_2*Γ0) · #{&_2}#>#^^^#

          • ...

  • [3,2,1,1,1] ψ_0(Ω_2*ψ_0(Ω_2)) · #{&_2}#>#{&_2}#

    • [3,2,1,1,2] ψ_0(Ω_2*ψ_0(Ω_2*ψ_0(Ω_2))) · #{&_2}#>#{&_2}#>#{&_2}#

      • [3,2,1,1,3] ψ_0(Ω_2*ψ_0(Ω_2*ψ_0(Ω_2*ψ_0(Ω_2)))) · #{&_2}#>#{&_2}#>#{&_2}#>#{&_2}#

        • ...

  • [3,2,1,1] ψ_0(Ω_2*Ω) · #{&_2}##

    • [3,2,1,2] ψ_0(Ω_2*Ω^Ω) · #{&_2+1}#

      • [3,2,1,3] ψ_0(Ω_2*Ω^Ω^Ω) · #{&_2+&^&}#

        • ...

  • [3,2,1] ψ_0(Ω_2*ε(Ω + 1)) · #{&_2+(&_2)_1}#

    • [3,2,2] ψ_0(Ω_2*εε(Ω + 1)) · #{&_2+(&_2+(&_2)_1)_1}#

      • [3,2,3] ψ_0(Ω_2*εεε(Ω + 1)) · #{&_2+(&_2+(&_2+(&_2)_1)_1)_1}#

        • ...

  • [3,2] ψ_0(Ω_2^2) · #{&_2+&_2}#

    • [3,3,1,1,1,1,1,0,2,1,1,1,1,1,0,2,0,1,1,1] ε(ψ_0(Ω_2^2) + 1) · (#{&_2+&_2}#)^^#

    • [3,3,1,1,1,1,1,0,2,1,1,1,1,1,0,2,0,1,1] ψ_0(Ω_2^2 + ε(Ω + 1)) · (#{&_2+&_2}#){(&_2)_1}#

    • [3,3,1,1,1,1,1,0,2,1,1,1,1,1,0,2,0,1] ψ_0(Ω_2^2 + ζ(Ω + 1)) · (#{&_2+&_2}#){(&_2+&_2)_1}#

    • [3,3,1,1,1,1,1,0,2,1,1,1,1,1,0,2,0] ψ_0(Ω_2^2 + Ω_2) · (#{&_2+&_2}#){&_2}#

    • [3,3,1,1,1,1,1,0,2,1,1,1,1,1,0,2] ψ_0(Ω_2^2*2) · (#{&_2+&_2}#){&_2+&_2}#

    • [3,3,1,1,1,1,1,0,2,1,1,1,1,1,0] ψ_0(Ω_2^2*ω) · #{&_2+&_2}#>#

    • [3,3,1,1,1,1,1,0,2,1,1,1,1,1] ψ_0(Ω_2^2*ψ_0(Ω_2)) · #{&_2+&_2}#>#{&_2}#

    • [3,3,1,1,1,1,1,0,2,1,1,1,1] ψ_0(Ω_2^2*ψ_0(Ω_2^2)) · #{&_2+&_2}#>#{&_2+&_2}#

    • [3,3,1,1,1,1,1,0,2,1,1,1] ψ_0(Ω_2^2*Ω) · #{&_2+&_2}##

    • [3,3,1,1,1,1,1,0,2,1,1] ψ_0(Ω_2^2*ε(Ω + 1)) · #{&_2+&_2+(&_2)_1}#

    • [3,3,1,1,1,1,1,0,2,1] ψ_0(Ω_2^2*ζ(Ω + 1)) · #{&_2+&_2+(&_2+&_2)_1}#

    • [3,3,1,1,1,1,1,0,2] ψ_0(Ω_2^3) · #{&_2+&_2+&_2}#

    • [3,3,1,1,1,1,1,0] ψ_0(Ω_2^ω) · #{&_2*#}#

    • [3,3,1,1,1,1,1] ψ_0(Ω_2^ψ_0(Ω_2)) · #{&_2*#{&_2}#}#

    • [3,3,1,1,1,1] ψ_0(Ω_2^ψ_0(Ω_2^2)) · #{&_2*#{&_2+&_2}#}#

    • [3,3,1,1,1] ψ_0(Ω_2^Ω) · #{&_2*&}#

    • [3,3,1,1] ψ_0(Ω_2^ε(Ω + 1)) · #{&_2*(&_2)_1}#

    • [3,3,1] ψ_0(Ω_2^ζ(Ω + 1)) · #{&_2*(&_2+&_2)_1}#

    • [3,3] ψ_0(Ω_2^Ω_2) · #{&_2*&_2}#

      • [3,4] ψ_0(Ω_2^Ω_2^Ω_2) · #{&_2^&_2}#

        • [3,5] ψ_0(Ω_2^Ω_2^Ω_2^Ω_2) · #{&_2^&_2^&_2}#

          • ...

  • [3] ψ_0(Ω_3) · #{&_3}#

    • [4,2,1,1,1,1,0,1,0,2,1,1,1,0] ε(ψ_0(Ω_3) + 1) · (#{&_3}#)^^#

    • [4,2,1,1,1,1,0,1,0,2,1,1,1] ψ_0(Ω_3 + ψ_1(Ω_3)) · (#{&_3}#){(&_3)_1}#

    • [4,2,1,1,1,1,0,1,0,2,1,1] ψ_0(Ω_3 + Ω_2) · (#{&_3}#){&_2}#

    • [4,2,1,1,1,1,0,1,0,2,1] ψ_0(Ω_3 + ε(Ω_2 + 1)) · (#{&_3}#){(&_3)_2}#

    • [4,2,1,1,1,1,0,1,0,2] ψ_0(Ω_3*2) · (#{&_3}#){&_3}#

    • [4,2,1,1,1,1,0,1,0] ψ_0(Ω_3*ω) · #{&_3}#>#

    • [4,2,1,1,1,1,0,1] ψ_0(Ω_3*ψ_0(Ω_3)) · #{&_3}#>#{&_3}#

    • [4,2,1,1,1,1,0] ψ_0(Ω_3*Ω) · #{&_3}##

    • [4,2,1,1,1] ψ_0(Ω_3*ψ_1(Ω_3)) · #{&_3+(&_3)_1}#

    • [4,2,1,1] ψ_0(Ω_3*Ω_2) · #{&_3+&_2}#

    • [4,2,1] ψ_0(Ω_3*ε(Ω_2 + 1)) · #{&_3+(&_3)_2}#

    • [4,2] ψ_0(Ω_3^2) · #{&_3+&_3}#

    • [4] ψ_0(Ω_4) · #{&_4}#

      • [5,2,1,1,1,0,1,0,1,0,2,1,1,1,0,1,0] ε(ψ_0(Ω_4) + 1) · (#{&_2+&_2}#)^^#

      • [5,2,1,1,1,0,1,0,1,0,2,1,1,1,0,1] ψ_0(Ω_4 + ψ_1(Ω_4)) · (#{&_4}#){(&_4)_1}#

      • [5,2,1,1,1,0,1,0,1,0,2,1,1,1,0] ψ_0(Ω_4 + Ω_2) · (#{&_4}#){&_2}#

      • [5,2,1,1,1,0,1,0,1,0,2,1,1,1] ψ_0(Ω_4 + ψ_2(Ω_4)) · (#{&_4}#){(&_4)_2}#

      • [5,2,1,1,1,0,1,0,1,0,2,1,1] ψ_0(Ω_4 + Ω_3) · (#{&_4}#){&_3}#

      • [5,2,1,1,1,0,1,0,1,0,2,1] ψ_0(Ω_4 + ε(Ω_3 + 1)) · (#{&_4}#){(&_4)_3}#

      • [5,2,1,1,1,0,1,0,1,0,2] ψ_0(Ω_4*2) · (#{&_4}#){&_4}#

      • [5,2,1,1,1,0,1,0,1,0] ψ_0(Ω_4*ω) · #{&_4}#>#

      • [5,2,1,1,1,0,1,0,1] ψ_0(Ω_4*ψ_0(Ω_4)) · #{&_4}#>#{&_4}#

      • [5,2,1,1,1,0,1,0] ψ_0(Ω_4*Ω) · #{&_4}##

      • [5,2,1,1,1,0,1] ψ_0(Ω_4*ψ_1(Ω_4)) · #{&_4+(&_4)_1}#

      • [5,2,1,1,1,0] ψ_0(Ω_4*Ω_2) · #{&_4+&_2}#

      • [5,2,1,1,1] ψ_0(Ω_4*ψ_2(Ω_4)) · #{&_4+(&_4)_2}#

      • [5,2,1,1] ψ_0(Ω_4*Ω_3) · #{&_4+&_3}#

      • [5,2,1] ψ_0(Ω_4*ε(Ω_3 + 1)) · #{&_4+(&_4)_3}#

      • [5,2] ψ_0(Ω_4^2) · #{&_4+&_4}#

      • [5] ψ_0(Ω_5) · #{&_5}#

        • [6] ψ_0(Ω_6) · #{&_6}#

          • [7] ψ_0(Ω_7) · #{&_7}#

            • [8] ψ_0(Ω_8) · #{&_8}#

              • ...

[Limit] ψ_0(Ω_ω) · #{&_#}#

But of course, the fundamental sequence should be expanded like this:

[0] #{#}# has ordinal level φ(ω, 0, 0)

[1] #{&}# has ordinal level φ(1, 0, 0, 0)

[2] #{&_2}# has ordinal level ψ_0(Ω_2) (BHO)

• [3,2,2,1,2,1,1,2,2,1,2,1,1,1,2,1,2,2,2,2,2] #{&_2}#>#{&_2}# has ordinal level ψ_0(Ω_2*ε(Ω + 1))

• [3,2,2,1,2,1,1,2,2,1,2,1,1,1,2,1,2,2,2,2] #{&_2}## has ordinal level ψ_0(Ω_2^2)

• [3,2,2,1,2,1,1,2,2,1,2,1,1,1,2,1,2,2,2] #{&_2}#^# has ordinal level ψ_0(Ω_2^ω)

• [3,2,2,1,2,1,1,2,2,1,2,1,1,1,2,1,2,2] #{&_2}#^^# has ordinal level ψ_0(Ω_2^ε0)

• [3,2,2,1,2,1,1,2,2,1,2,1,1,1,2,1,2] #{&_2}#{#}# has ordinal level ψ_0(Ω_2^φ(ω, 0, 0))

• [3,2,2,1,2,1,1,2,2,1,2,1,1,1,2,1] #{&_2}#{&}# has ordinal level ψ_0(Ω_2^φ(1, 0, 0, 0))

• [3,2,2,1,2,1,1,2,2,1,2,1,1,1,2] #{&_2}#{&_2}# has ordinal level ψ_0(Ω_2^ψ_0(Ω_2))

• [3,2,2,1,2,1,1,2,2,1,2,1,1,1] #{&_2+1}# has ordinal level ψ_0(Ω_2^Ω)

• [3,2,2,1,2,1,1,2,2,1,2,1,1] #{&_2+#}# has ordinal level ψ_0(Ω_2^(Ω*ω))

• [3,2,2,1,2,1,1,2,2,1,2,1] #{&_2+#{&}#}# has ordinal level ψ_0(Ω_2^(Ω*ψ_0(Ω_2)))

• [3,2,2,1,2,1,1,2,2,1,2] #{&_2+#{&_2}#}# has ordinal level ψ_0(Ω_2^(Ω*ψ_0(Ω_2)))

• [3,2,2,1,2,1,1,2,2,1] #{&_2+&}# has ordinal level ψ_0(Ω_2^Ω^2)

• [3,2,2,1,2,1,1,2,2] #{&_2+(&_2)_1}# has ordinal level ψ_0(Ω_2^ε(Ω + 1))

• [3,2,2,1,2,1,1,2] #{&_2+&_2}# has ordinal level ψ_0(Ω_2^Ω_2)

  • [3,2,2,1,2,1,1,3] #{&_2+&_2+&_2}# has ordinal level ψ_0(Ω_2^Ω_2^2)

    • [3,2,2,1,2,1,1,4] #{&_2+&_2+&_2+&_2}# has ordinal level ψ_0(Ω_2^Ω_2^3)

• [3,2,2,1,2,1,1] #{&_2^#}# has ordinal level ψ_0(Ω_2^Ω_2^ω)

• [3,2,2,1,2,1] #{&_2^#{&}#}# has ordinal level ψ_0(Ω_2^Ω_2^φ(1, 0, 0, 0))

• [3,2,2,1,2] #{&_2^#{&_2}#}# has ordinal level ψ_0(Ω_2^Ω_2^ψ_0(Ω_2))

• [3,2,2,1] #{&_2^&}# has ordinal level ψ_0(Ω_2^Ω_2^Ω)

• [3,2,2] #{&_2^(&_2)_1}# has ordinal level ψ_0(Ω_2^Ω_2^ε(Ω + 1))

  • [3,2,3] #{&_2^(&_2^(&_2)_1)_1}# has ordinal level ψ_0(Ω_2^Ω_2^φ(1 @{ε(Ω + 1)}))

    • [3,2,4] #{&_2^(&_2^(&_2^(&_2)_1)_1)_1}# has ordinal level ψ_0(Ω_2^Ω_2^φ(1 @{φ(1 @{ε(Ω + 1)})}))

• [3,2] #{&_2^&_2}# has ordinal level ψ_0(Ω_2^Ω_2^Ω_2)

  • [3,3] #{&_2^&_2^&_2}# has ordinal level ψ_0(Ω_2^Ω_2^Ω_2^Ω_2)

    • [3,4] #{&_2^&_2^&_2^&_2}# has ordinal level ψ_0(Ω_2^Ω_2^Ω_2^Ω_2^Ω_2)

• [3] #{&_3}# has ordinal level ψ_0(Ω_3) (BHO)

  • [4] #{&_4}# has ordinal level ψ_0(Ω_4) (BHO)

    • [5] #{&_5}# has ordinal level ψ_0(Ω_5) (BHO)

      • ...

[Limit] #{&_#}# has ordinal level ψ_0(Ω_ω)