Macam-Macam Himpunan Bilangan

1. Himpunan Bilangan Asli

Bilangan asli merupakan bilangan yang sering kita gunakan, seperti untuk menghitung banyaknya pengunjung dalam suatu pertunjukan seni atau banyaknya tamu yang menginap di hotel tertentu. Bilangan asli sering pula disebut sebagai bilangan natural karena secara alamiah kita mulai menghitung dari angka 1, 2, 3, dan seterusnya. Bilangan-bilangan tersebut membentuk suatu himpunan bilangan yang disebut sebagai himpunan bilangan asli. Dengan demikian, himpunan bilangan asli didefinisikan sebagai himpunan bilangan yang diawali dengan angka 1 dan bertambah satu-satu.

Himpunan bilangan ini dilambangkan dengan huruf A dan anggota himpunan dari bilangan asli dinyatakan sebagai berikut.

A = {1, 2, 3, 4, …}.

2. Himpunan Bilangan Cacah

Dalam sebuah survei mengenai hobi siswa di kelas tertentu, diketahui bahwa banyak siswa yang hobi membaca 15 orang, hobi jalan-jalan sebanyak 16 orang, hobi olahraga sebanyak 9 orang dan tidak ada siswa yang memilih hobi menari. Untuk menyatakan banyaknya anggota yang tidak memiliki hobi menari tersebut, digunakan bilangan 0. Gabungan antara himpunan bilangan asli dan himpunan bilangan 0 ini disebut sebagai himpunan bilangan cacah.

Himpunan bilangan ini dilambangkan dengan huruf C dan anggota himpunan dari bilangan cacah dinyatakan sebagai berikut:

C = {0, 1, 2, 3, 4,…}.

3. Himpunan Bilangan Bulat

Himpunan bilangan bulat adalah gabungan antara himpunan bilangan cacah dan himpunan bilangan bulat negatif. Bilangan ini dilambangkan dengan huruf B dan anggota himpunan dari bilangan bulat dinyatakan sebagai berikut:

B = {…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …}.

Bilangan-bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk pecahan disebut bilangan rasional. contoh : 1, 2, 3, 4, 5, 1/2, 2/3, 4/9, -1, -2, -3 .... Uraian tersebut memperjelas definisi bilangan rasional, yaitu sebagai berikut.

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a/b dengan a, b bilangan bulat dan b ≠ 0.

5. Bilangan Irrasional

Bilangan irrasional adalah kebalikan dari bilangan rasional.

Dalam matematika, bilangan irasional adalah bilangan riil yang tidak bisa dibagi (hasil baginya tidak pernah berhenti). Dalam hal ini, bilangan irasional tidak bisa dinyatakan sebagai a/b, dengan a dan b sebagai bilangan bulat dan b tidak sama dengan nol.

Contoh Bilangan Irrasional

Contoh yang paling populer dari bilangan irasional adalah bilangan π, √2, log 2, dan bilangan e

Bilangan π sebetulnya tidak tepat, yaitu kurang lebih 3.14, tetapi

= 3,1415926535…. atau

= 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510…

Untuk bilangan √2:

= 1,4142135623730950488016887242096…. atau

= 1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73798..

dan untuk bilangan e:

= 2,7182818….

Pengertian Bentuk Akar (√)

Simbol radikal (akar) “√” dikenalkan pertama kali oleh matematikawan Jerman, Christoff Rudoff, di dalam bukunya Die Coss. Simbol tersebut ia pilih karena mirip dengan huruf ” r ” yang diambil dari kata radix, bahasa latin untuk akar pangkat dua. (Sumber: Finite Mathematics and Its Applications,1994)

Sebelum lebih jauh membahas tentang bentuk akar, pelajari perhitungan akar kuadrat bilangan-bilangan berikut.

• √4 = √2² = 2

• √9 = √3² = 3

• √16 = √4² = 4

Perhitungan akar kuadrat bilangan-bilangan yang telah kamu pelajari tersebut memenuhi definisi sebagai berikut.

√a² = a dengan a bilangan real positif.

Sekarang, coba kamu periksa √3, √5, √6, dan √7, apakah memenuhi Definisi tersebut atau tidak? Jika kamu memeriksanya dengan benar maka bentuk-bentuk tersebut tidak memenuhi Definisi tersebut.

Akar pangkat suatu bilangan yang tidak memenuhi definisi tersebut dinamakan bentuk akar. Jadi, √3, √5, √6 , dan √7 merupakan bentuk akar karena tidak ada bilangan real positif yang jika dikuadratkan hasilnya sama dengan 3, 5, 6, dan 7.

Sehingga dapat disimpulkan bahwa bentuk akar adalah akar-akar dari suatu bilangan riil positif, yang hasilnya merupakan bilangan irrasional atau Bentuk akar merupakan bilangan ber-akar yang hasilnya merupakan bilangan irrasional.

Contoh Soal Bentuk Akar

Manakah yang merupakan bentuk akar? Berikan alasannya.

a. √64

b. √40

c. √49

d. √36

e. √28

f. √55

Jawab:

a. √64 adalah bukan bentuk akar karena √64 = √8² = 8.

b. √40 adalah bentuk akar karena tidak ada bilangan real positif yang jika dikuadratkan hasilnya sama dengan 40.

c. √49 adalah bukan bentuk akar karena √49 = √7² = 7.

d. √36 adalah bukan bentuk akar karena √36 = √6² = 6.

e. √28 adalah bentuk akar karena tidak ada bilangan real positif yang jika dikuadratkan hasilnya sama dengan 28.

f. √55 adalah bentuk akar. Mengapa? Coba tuliskan sendiri alasannya pada kolom komentar di bawah ini?

Demikian pembahasan tentang bentuk akar, semoga mudah dipahami!

Baca juga: Bilangan Rasioanl dan Irrasional

sumber : https://www.berpendidikan.com/

Cara Mudah Menyederhanakan Bentuk Akar, Contoh Soal dan Pembahasan

Pada kali ini, akar kuadrat dari bilangan-bilangan tidak kita cari nilainya, tetapi hanya kita sederhanakan saja.

Lalu bagaimana caranya menyederhanakan akar suatu bilangan bulat? Kita dapat menggunakan faktor-faktor dari bilangan yang akan kita sederhanakan di mana salah satu faktornya merupakan bilangan kuadrat. Dari faktor-faktor itu, kita memperoleh akar kuadrat yang menghasilkan bilangan bulat, sehingga di dalam tanda akar menjadi lebih sederhana lagi. Dalam hal ini, kita menggunakan sifat distributif akar, yaitu sebagai berikut.

√a×b = √a × √b

Contoh:

a. √8 = √4 × 2 = √4 × √2 = 2 × √2 = 2√2

b. √75 = √25 × 3 = √25 × √3 = 5 × √3 = 5√3

c. √48 = √4 × 4 × 3 = √4 × √4 × √3 = 2 × 2 × √3 = 4√3

atau

⇒ √48 = √16 × 3 = √16 × √3 = 4 × √3 = 4√3

d. √180 = √4 × 9 × 5 = √4 × √9 × √5 = 2 × 3 × √5 = 6√5

atau

⇒ √180 = √36 × 5 = √36 × √5 = 6 × √5 = 6√5

Untuk mendapatkan faktor dari bilangan bulat yang diakarkan di mana faktor tersebut merupakan bilangan kuadrat, kita dapat menggunakan pohon faktor dan faktorisasi prima dari bilangan bulat tersebut. Misalkan kita akan menyederhanakan bentuk √180, maka langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

■ Tentukan faktorisasi prima dari bilangan 180 dengan menggunakan pohon faktor sebagai berikut.

Dari pohon faktor di atas, faktorisasi prima dari 180 adalah sebagai berikut

⇒ 180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5

⇒ 180 = 2² × 3² × 5

⇒ 180 = 4 × 9 × 5

■ Sederhanakan bentuk akar dari √180, menggunakan faktorisasi prima di atas.

⇒ 180 = 2² × 3² × 5

⇒ 180 = 4 × 9 × 5

⇒ √180 = √4 × 9 × 5 = √4 × √9 × √5 = 2 × 3 × √5 = 6√5

Bagaimana? Sangat mudah sekali bukan? Sekarang agar pemahaman kalian lebih dalam lagi mengenai cara penyederhanaan bentuk akar, silahkan kalian pelajari contoh soal dan pembahasannya berikut ini.

Contoh Soal 1:

Sederhanakanlah bentuk akar kuadrat berikut ini.

a. √12

b. √18

c. √200

d. √320

e. √45

f. √72

Jawab:

a. √12 = √4 × 3 = √4 × √3 = 2 × √3 = 2√3

b. √18 = √9 × 2 = √9 × √2 = 3 × √2 = 3√2

c. Dengan menggunakan pohon faktor, faktorisasi prima dari 200 adalah sebagai berikut.

⇒ 200 = 2 × 2 × 2 × 5 × 5

Dari faktorisasi prima di atas, kuadratkan bilangan yang sama, lalu kalikan dengan sisa bilangan prima.

⇒ 200 = 2² × 5² × 2

⇒ 200 = 4 × 25 × 2

Dengan demikian, bentuk sederhana dari √200 adalah sebagai berikut.

⇒ √200 = √4 × 25 × 2 = √4 × √25 × √2 = 2 × 5 × √2 = 10√2

d. Dengan menggunakan pohon faktor, faktorisasi prima dari 320 adalah sebagai berikut.

⇒ 320 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 5

Dari faktorisasi prima di atas, kuadratkan bilangan yang sama, lalu kalikan dengan sisa bilangan prima.

⇒ 320 = 2² × 2² × 2² × 5

⇒ 320 = 2² × 2² × 2² × 5

⇒ 320 = 4 × 4 × 4 × 5

⇒ 320 = 64 × 5

Dengan demikian, bentuk sederhana dari √320 adalah sebagai berikut.

⇒ √320 = √64 × 5 = √64 × √5 = 8 × √5 = 8√5

e. √45 = √9 × 5 = √9 × √5 = 3 × √5 = 3√5

f. √72 = √36 × 2 = √36 × √2 = 6 × √2 = 6√2

Contoh Soal 2:

Sederhanakan sampai di dalam akar tidak terdapat bentuk pecahan!

a. √²⁵/₄

b. √2 ¹/₄

c.√³/₄

d.√10 ⁸/₉

e.√7,2

f.√0,54

Jawab:

a.

a. √²⁵/₄=^√25/_√4=⁵/₂

b.√2 ¹/₄=√⁹/₄=^√9/_√4 = ³/₂

c.√³/₄=^√3/_√4=^√3/₂=¹/₂√3

d.√10 ⁸/₉=√⁹⁸/₉=^{√49 × √2}/_√9=^√49/_√9 × √2=⁷/₃√2

e.√7,2=√⁷²⁰/₁₀₀=^{√144 × √5}/_√100=^√144/_√100 × √5=¹²/₁₀√5=1 ¹/₅√5

f.√0,54=√⁵⁴/₁₀₀=^{√9× √6}/_√100=^√9/_√100 × √6=³/₁₀√6

Sumber : https://math4junior.blogspot.com/