Procédures

Nous proposons deux exemples ci-dessous. Le détail des partages de chaque période est disponible à la fin de la page, dans l'onglet Détails des procédures optimales des partages de chaque période.

7425 en 4 parts égales (périodes 1 et 2)

• • Distribuer les 7 billets de 1000 en 4 parts égales. On obtient 1 billet de 1000 par élève, soit 4 billets 1000 distribués pour 3 billets de 1000 qui restent sur le côté

  • Échanger ces 3 billets de 1000 contre 30 billets de 100

  • Distribuer les 34 billets de 100 en 4 parts égales, c'est à dire les 30 billets qui viennent d'être échangés et les 4 billets de départ. On obtient 8 billets de 100 par élève, soit 32 billets de 100 distribués pour 2 billets de 100 qui restent sur le côté

  • Échanger ces 2 billets de 100 contre 20 billets de 10

  • Distribuer les 22 billets de 10 en 4 parts égales, c'est à dire les 20 billets qui viennent d'être échangés et les 2 billets de départ. On obtient 5 billets de 10 par élève, soit 20 billets de 10 distribués pour 2 billets de 10 qui restent sur le coté

  • Échanger ces 2 billets de 10 contre 20 pièces de 1

  • Distribuer les 25 pièces de 1 en 4 parts égales, c'est à dire les 20 pièces qui viennent d'être échangées et les 5 pièces de départ. On obtient 6 pièces de 1 par élève, soit 24 pièces de 1 distribuées pour 1 pièce de 1 qui reste sur le coté

Finalement, chaque élève a reçu 1856 (1 billet de 1000 ; 8 billets de 100 ; 5 billets de 10 ; 6 pièces de 1) et il reste 1 pièce de 1 sur le côté.

Il a fallu effectuer 7 étapes (4 distributions et 3 échanges) pour finaliser le partage. 

3402 en 3 parts égales (période 5)

• • Distribuer les 3 billets de 1000 en 3 parts égales. On obtient 1 billet de 1000 par élève, soit 3 billets 1000 distribués pour aucun reste

  • Distribuer les 4 billets de 100 en 3 parts égales. On obtient 1 billet de 100 par élève, soit 3 billets de 100 distribués pour 1 billet de 100 qui reste sur le côté

  • Échanger ce 1 billet de 100 contre 10 billets de 10

  • Distribuer les 10 billets de 10 en 3 parts égales, c'est à dire les 10 billets qui viennent d'être échangés et aucun billet de départ. On obtient 3 billets de 10 par élève, soit 9 billets de 10 distribués pour 1 billet de 10 qui reste sur le coté

  • Échanger ce 1 billet de 10 contre 10 pièces de 1

  • Distribuer les 12 pièces de 1 en 3 parts égales, c'est à dire les 10 pièces qui viennent d'être échangées et les 2 pièces de départ. On obtient 4 pièces de 1 par élève, soit 12 pièces de 1 distribuées pour aucun reste

Finalement, chaque élève a reçu1334 (1 billet de 1000 ; 1 billet de 100 ; 3 billets de 10 ; 4 pièces de 1) et il reste 2 pièces de 1 sur le côté.

Il a fallu effectuer 6 étapes (4 distributions et 2 échanges) pour finaliser le partage. 

Les procédures de partage qui ne sont pas optimales suivent une logique qu'il s'agit de comprendre pour intervenir de manière  adaptée.

Ces procédures suivent généralement une logique systématique. 

Partages non optimaux avec l'exemple 7425 en 4 parts égales (périodes 1 et 2)

Partage des unités de numération dans le désordre (= commencer par une autre unité de numération que celle qui est la plus élevée) 

• 1. Commencer par distribuer les unités : distribuer les 5 pièces de 1 en 4 parts égales. On obtient 1 pièce de 1 par élève, soit 4 pièces de 1 distribuées pour 1 pièce de 1 qui reste sur le côté

  2. Continuer avec les milliers : distribuer les 7 billets de 1000 en 4 parts égales. On obtient 1 billet de 1000 par élève, soit 4 billets 1000 distribués pour 3 billets de 1000 qui restent sur le côté

  3. Échanger ces 3 billets de 1000 contre 30 billets de 100

  4. Continuer avec les centaines : distribuer les 34 billets de 100 en 4 parts égales, c'est à dire les 30 billets qui viennent d'être échangés et les 4 billets de départ. On obtient 8 billets de 100 par élève, soit 32 billets de 100 distribués pour 2 billets de 100 qui restent sur le côté

  5. Échanger ces 2 billets de 100 contre 20 billets de 10

  6. Continuer avec les dizaines : distribuer les 22 billets de 10 en 4 parts égales, c'est à dire les 20 billets qui viennent d'être échangés et les 2 billets de départ. On obtient 5 billets de 10 par élève, soit 20 billets de 10 distribués pour 2 billets de 10 qui restent sur le côté

  7. Échanger ces 2 billets de 10 contre 20 pièces de 1

  8. Revenir aux unités : distribuer les 20 billets de 10 en 4 parts égales, c'est à dire les 20 pièces qui viennent d'être échangées. On obtient 5 pièces de 1 par élève, soit 20 pièces de 1 distribuées pour aucune pièce restante.

Finalement, chaque élève a reçu 1856 (1 pièce de 1 ; 1 billet de 1000 ; 8 billets de 100 ; 5 billets de 10 ; 5 pièces de 1) et il reste 1 pièce de 1 sur le côté.

Pour la procédure optimale, il y faut effectuer 7 étapes (4 distributions et 3 échanges) pour finaliser le partage. Ici, il a fallu 8 étapes.

Partage des unités n'impliquant pas d'échange, suivi du partage des unités échangées

1. 1. Commencer en distribuant 4 milliers sur les 7 de départ : distribuer 4  billets de 1000 en 4 parts égales. On obtient 1 billet de 1000 par élève, soit 4 billets 1000 distribués et aucun reste

   2. Continuer en distribuant les 4 billets de 100 de départ  : distribuer 4 billets de 100 en 4 parts égales. On obtient 1 billet de 100 par élève, soit 4 billets de 100 et aucun reste

   3. Continuer en distribuant les 5 pièces de 1 de départ : distribuer les 5 pièces de 1 en 4 parts égales. On obtient 1 pièces de 1 par élève, soit 4 pièces de 1 distribuées pour 1pièce de 1 qui reste sur le côté

Procéder aux échanges...

1. 4. Échanger les 3 billets restants de 1000 contre 30 billets de 100

   5. Échanger les 2 billets de 10 contre 20 pièces de 1

Distribuer les billets et pièces échangés...

1. 6. Distribuer les 30 billets de 100 échangés en 4 parts égales. On obtient 7 billets de 100 par élève, soit 28 billets de 10 distribuées pour 2 billets de 10 qui restent sur le côté

   7. Distribuer les 20 pièces de 1 échangées en 4 parts égales. On obtient 5 pièces de 1 par élève, soit 20 pièces de 1 distribuées pour aucun reste

Procéder aux échanges...  

1. 8. Échanger les 2 billets de 100 contre 20 billets de 10

Distribuer les billets et pièces échangés...

1. 9.  Distribuer les 20 billets de 10 échangés en 4 parts égales. On obtient 5 billets de 10 par élève, soit 20 billets de 10 distribuées pour aucun reste

Finalement, chaque élève a reçu 1856 (1 billet de 1000 ; 1 billet de 100 ; 1 pièce de 1 ; 7 billets de 100 ; 5 pièces de 1 ; 5 billets de 10) et il reste 1 pièce de 1 sur le côté.

Pour la procédure optimale, il y faut effectuer 7 étapes (4 distributions et 3 échanges) pour finaliser le partage. Ici, il a fallu 9 étapes.

Partages non optimaux avec l'exemple 9688 en 2 parts égales 

Partage des unités de manière fractionnée (=partage en plusieurs fois)

1. Distribuer 9  billets de 1000 en 2 parts égales. On obtient 4 billets de 1000 par élève, soit 8 billets 1000 distribués pour 1 billet de 1000 sur le côté

2. Échanger le 1 billet de 1000 contre 10 billets de 100

3. Continuer en distribuant les 10 billets de 100 échangés : distribuer les 10 billets de 100 en 2 parts égales. On obtient 5 billets de 10 par élève, soit 10 billets de 100 distribués pour aucun reste

4. Continuer en distribuant les 6 billets de 100 de départ  : distribuer 6 billets de 100 en 2 parts égales. On obtient 3 billets de 100 par élève, soit 6 billets de 100 et aucun reste

5. Continuer en distribuant 8 billets de 10 : distribuer les 8 billets de 10 en 2 parts égales. On obtient 4 billets de 10 par élève, soit 10 billets de 10 distribués pour aucun reste

6. Continuer en distribuant 8 pièces de 1 de départ : distribuer les 8 pièces de 1 en 2 parts égales. On obtient 4 pièces de 1 par élève, soit 8 pièces de 1 distribuées pour aucun reste

Finalement, chaque élève a reçu 4844 (4 billets de 1000 ; 5 billets de 100 ; 3 billets de 100 ; 4 billets de 10 ; 4 pièces de 1)

Pour la procédure optimale, il y faut effectuer 5 étapes (4 distributions et 1 échange) pour finaliser le partage. Ici, il a fallu 6 étapes.

Remarques : Dans tous les cas, il sera assez aisé de repérer les procédures de partage non optimales puisque le nombre d'étapes (= le nombre de partages et d'échanges) sera soit trop élevé, soit moins élevé que le nombre d'étapes de la procédure optimale attendue.

Attention, les procédures non optimales de partage deviennent des procédures non attendues à partir du moment où le partage optimal aura été institutionnalisé.

• Les procédures qui ne tiennent pas compte des éléments de la consigne. Par exemple : ne pas partager l’ensemble du trésor, ne pas partager de manière équitable ou ne pas partager en 4 parties mais en un autre nombre de parts...

• A partir de l'institutionnalisation du partage optimal (période 3), les procédures qui ne sont pas un partage optimal ne sont plus des procédures attendues.

7425 en 4 parts égales (périodes 1 et 2)

• • Distribuer les 7 billets de 1000 en 4 parts égales. On obtient 1 billet de 1000 par élève, soit 4 billets 1000 distribués pour 3 billets de 1000 qui restent sur le côté

  • Échanger ces 3 billets de 1000 contre 30 billets de 100

  • Distribuer les 34 billets de 100 en 4 parts égales, c'est à dire les 30 billets qui viennent d'être échangés et les 4 billets de départ. On obtient 8 billets de 100 par élève, soit 32 billets de 100 distribués pour 2 billets de 100 qui restent sur le côté

  • Échanger ces 2 billets de 100 contre 20 billets de 10

  • Distribuer les 22 billets de 10 en 4 parts égales, c'est à dire les 20 billets qui viennent d'être échangés et les 2 billets de départ. On obtient 5 billets de 10 par élève, soit 20 billets de 10 distribués pour 2 billets de 10 qui restent sur le coté

  • Échanger ces 2 billets de 10 contre 20 pièces de 1

  • Distribuer les 25 pièces de 1 en 4 parts égales, c'est à dire les 20 pièces qui viennent d'être échangées et les 5 pièces de départ. On obtient 6 pièces de 1 par élève, soit 24 pièces de 1 distribuées pour 1 pièce de 1 qui reste sur le coté

Finalement, chaque élève a reçu 1856 (1 billet de 1000 ; 8 billets de 100 ; 5 billets de 10 ; 6 pièces de 1) et il reste 1 pièce de 1 sur le côté.

Il a fallu effectuer 7 étapes (4 distributions et 3 échanges) pour finaliser le partage. 

7134 en 4 parts égales (périodes 2 et 3)

• • Distribuer les 7 billets de 1000 en 4 parts égales. On obtient 1 billet de 1000 par élève, soit 4 billets 1000 distribués pour 3 billets de 1000 qui restent sur le côté

  • Échanger ces 3 billets de 1000 contre 30 billets de 100

  • Distribuer les 31 billets de 100 en 4 parts égales, c'est à dire les 30 billets qui viennent d'être échangés et le 1 billet de départ. On obtient 7 billets de 100 par élève, soit 28 billets de 100 distribués pour 3 billets de 100 qui restent sur le côté

  • Échanger ces 3 billets de 100 contre 30 billets de 10

  • Distribuer les 33 billets de 10 en 4 parts égales, c'est à dire les 30 billets qui viennent d'être échangés et les 3 billets de départ. On obtient 8 billets de 10 par élève, soit 32 billets de 10 distribués pour 1 billet de 10 qui reste sur le côté

  • Échanger ce 1 billet de 10 contre 10 pièces de 1

  • Distribuer les 14 pièces de 1 en 4 parts égales, c'est à dire les 10 pièces qui viennent d'être échangées et les 4 pièces de départ. On obtient 3 pièces de 1 par élève, soit 12 pièces de 1 distribuées pour 2 pièce2 de 1 qui reste sur le côté

Finalement, chaque élève a reçu 1783 (1 billet de 1000 ; 7 billets de 100 ; 8 billets de 10 ;36 pièces de 1) et il reste 1 pièce de 1 sur le côté.

Il a fallu effectuer 7 étapes (4 distributions et 3 échanges) pour finaliser le partage. 

6687 en 5 parts égales (périodes 2 et 3)

• • Distribuer les 6 billets de 1000 en 5 parts égales. On obtient 1 billet de 1000 par élève, soit 5 billets 1000 distribués pour 1 billet de 1000 qui reste sur le côté

  • Échanger ce 1 billet de 1000 contre 10 billets de 100

  • Distribuer les 16 billets de 100 en 5 parts égales, c'est à dire les 10 billets qui viennent d'être échangés et les 6 billets de départ. On obtient 3 billets de 100 par élève, soit 15 billets de 100 distribués pour 1 billet de 100 qui reste sur le côté

  • Échanger ce 1 billet de 100 contre 10 billets de 10

  • Distribuer les 18 billets de 10 en 5 parts égales, c'est à dire les 10 billets qui viennent d'être échangés et les 8 billets de départ. On obtient 3 billets de 10 par élève, soit 15 billets de 10 distribués pour 3 billets de 10 qui restent sur le côté

  • Échanger ces 3 billets de 10 contre 30 pièces de 1

  • Distribuer les 37 pièces de 1 en 5 parts égales, c'est à dire les 30 pièces qui viennent d'être échangées et les 7 pièces de départ. On obtient 7 pièces de 1 par élève, soit 35 pièces de 1 distribuées pour 2 pièces de 1 qui reste sur le côté

Finalement, chaque élève a reçu 1337 (1 billet de 1000 ; 2 billets de 100 ; 3 billets de 10 ; 7 pièces de 1) et il reste 2 pièces de 1 sur le côté.

Il a fallu effectuer 7 étapes (4 distributions et 3 échanges) pour finaliser le partage. 

8768 en 5 parts égales (période 4)

• • Distribuer les 8 billets de 1000 en 5 parts égales. On obtient 1 billet de 1000 par élève, soit 5 billets 1000 distribués pour 3 billets de 1000 qui restent sur le côté

  • Échanger ces 3 billets de 1000 contre 30 billets de 100

  • Distribuer les 37 billets de 100 en 5 parts égales, c'est à dire les 30 billets qui viennent d'être échangés et les 7 billets de départ. On obtient 7 billets de 100 par élève, soit 35 billets de 100 distribués pour 2 billets de 100 qui reste sur le côté

  • Échanger ces 2 billets de 100 contre 20 billets de 10

  • Distribuer les 26 billets de 10 en 5 parts égales, c'est à dire les 20 billets qui viennent d'être échangés et les 6 billets de départ. On obtient 5 billets de 10 par élève, soit 25 billets de 10 distribués pour 1 billet de 10 qui reste sur le côté

  • Échanger ce 1 billet de 10 contre 10 pièces de 1

  • Distribuer les 18 pièces de 1 en 5 parts égales, c'est à dire les 10 pièces qui viennent d'être échangées et les 8 pièces de départ. On obtient 3 pièces de 1 par élève, soit 15 pièces de 1 distribuées pour 3 pièces de 1 qui restent sur le côté

Finalement, chaque élève a reçu 1753 (3 billets de 1000 ; 7 billets de 100 ; 5 billets de 10 ; 3 pièces de 1) et il reste 3 pièces de 1 sur le côté.

Il a fallu effectuer 7 étapes (4 distributions et 3 échanges) pour finaliser le partage. 

7592 en 6 parts égales (période 5)

• • Distribuer les 7 billets de 1000 en 6 parts égales. On obtient 1 billet de 1000 par élève, soit 6 billets 1000 distribués pour 1 billet de 1000 qui reste sur le côté

  • Échanger ce 1 billet de 1000 contre 10 billets de 100

  • Distribuer les 15 billets de 100 en 6 parts égales, c'est à dire les 10 billets qui viennent d'être échangés et les 5 billets de départ. On obtient 2 billets de 100 par élève, soit 12 billets de 100 distribués pour 3 billets de 100 qui restent sur le côté

  • Échanger ces 3 billets de 100 contre 30 billets de 10

  • Distribuer les 39 billets de 10 en 6 parts égales, c'est à dire les 30 billets qui viennent d'être échangés et les 9 billets de départ. On obtient 6 billets de 10 par élève, soit 36 de 10 distribués pour 3 billets de 10 qui restent sur le côté

  • Échanger ces 3 billets de 10 contre 30 pièces de 1

  • Distribuer les 32 pièces de 1 en 6 parts égales, c'est à dire les 30 pièces qui viennent d'être échangées et les 2 pièces de départ. On obtient 5 pièces de 1 par élève, soit 30 pièces de 1 distribuées pour 2 pièces de 1 qui restent sur le côté

Finalement, chaque élève a reçu 1282 (1 billet de 1000 ; 2 billets de 100 ; 6 billets de 10 ; 5 pièces de 1) et 2 pièces qui restent sur le côté 

Il a fallu effectuer 7 étapes (4 distributions et 3 échanges) pour finaliser le partage. 

8448 en 8 parts égales (période 5)

• • Distribuer les 8 billets de 1000 en 8 parts égales. On obtient 1 billet de 1000 par élève, soit 8 billets 1000 distribués pour aucun reste

  • Il n'est pas possible de distribuer les 4 billets de 100 en 8 parts égales. On obtient 0 billet de 100 par élève pour 4 billets de 100 qui restent sur le côté

  • Échanger ces 4 billets de 100 contre 40 billets de 10

  • Distribuer les 44 billets de 10 en 8 parts égales, c'est à dire les 40 billets qui viennent d'être échangés et les 4 billets de départ. On obtient 5 billets de 10 par élève, soit 40 billets de 10 distribués pour 4 billets de 10 qui restent sur le coté

  • Échanger ces 4 billets de 10 contre 40 pièces de 1

  • Distribuer les 48 pièces de 1 en 8 parts égales, c'est à dire les 40 pièces qui viennent d'être échangées et les 8 pièces de départ. On obtient 6 pièces de 1 par élève, soit 48 pièces de 1 distribuées pour aucun reste

Finalement, chaque élève a reçu 1056 (1 billet de 1000 ; 0 billet de 100 ; 5 billets de 10 ; 6 pièces de 1) et il n'y a aucun reste

Il a fallu effectuer 5 étapes (3 distributions et 2 échanges) pour finaliser le partage. 

2425 en 4 parts égales (période 5)

• • Il n'est pas possible de distribuer les 2 billets de 1000 en 4 parts égales. On obtient 0 billet de 1000 par élève pour 2 billets de 1000 qui restent sur le côté

  • Échanger ces 2 billets de 1000 contre 20 billets de 100

  • Distribuer les 24 billets de 100 en 4 parts égales, c'est à dire les 20 billets qui viennent d'être échangés et les 4 billets de départ. On obtient 6 billets de 100 par élève, soit 24 billets de 100 distribués pour aucun reste

  • Il n'est pas possible de distribuer les 2 billets de 10 de départ, en 4 parts égales. On obtient 0 billet de 10 par élève pour 2 billets de 10 qui restent sur le côté

  • Échanger ces 2 billets de 10 contre 20 pièces de 1

  • Distribuer les 25 pièces de 1 en 4 parts égales, c'est à dire les 20 pièces qui viennent d'être échangées et les 5 pièces de départ. On obtient 6 pièces de 1 par élève, soit 24 pièces de 1 distribuées pour 1 pièce de 1 qui reste sur le côté

Finalement, chaque élève a reçu 606 (0 billet de 1000 ; 6 billets de 100 ; 0 billets de 10 ; 6 pièces de 1) et il reste 1 pièce de 1 sur le côté.

Il a fallu effectuer 7 étapes (4 distributions et 3 échanges) pour finaliser le partage. 

3402 en 3 parts égales (période 5)

• • Distribuer les 3 billets de 1000 en 3 parts égales. On obtient 1 billet de 1000 par élève, soit 3 billets 1000 distribués pour aucun reste

  • Distribuer les 4 billets de 100 en 3 parts égales. On obtient 1 billet de 100 par élève, soit 3 billets de 100 distribués pour 1 billet de 100 qui reste sur le côté

  • Échanger ce 1 billet de 100 contre 10 billets de 10

  • Distribuer les 10 billets de 10 en 3 parts égales, c'est à dire les 10 billets qui viennent d'être échangés et aucun billet de départ. On obtient 3 billets de 10 par élève, soit 9 billets de 10 distribués pour 1 billet de 10 qui reste sur le coté

  • Échanger ce 1 billet de 10 contre 10 pièces de 1

  • Distribuer les 12 pièces de 1 en 3 parts égales, c'est à dire les 10 pièces qui viennent d'être échangées et les 2 pièces de départ. On obtient 4 pièces de 1 par élève, soit 12 pièces de 1 distribuées pour aucun reste

Finalement, chaque élève a reçu1334 (1 billet de 1000 ; 1 billet de 100 ; 3 billets de 10 ; 4 pièces de 1) et il reste 2 pièces de 1 sur le côté.

Il a fallu effectuer 6 étapes (4 distributions et 2 échanges) pour finaliser le partage.