Test de comparaison à une valeur standard

Test de comparaison à une valeur standard

1. Position de problème

On considère une population P sur laquelle on veut étudier un paramètre γ inconnue associé à un paramètre (c). Sur un échantillon de taille n, on obtient γe connu. Sur la base de cette valeur observée γe , on se propose de comparer la vraie valeur γ à une valeur γ₀ fixée à priori, constituant la valeur standard.

2. Tests relatifs à une moyenne

Soit une population P de grand effectif sur laquelle on étudie un caractère c. La moyenne m de c est inconnue. Sur un échantillon, on a trouvé une moyenne x̅ . On doit tester la moyenne m par rapport à une valeur notée m₀ qui est la valeur standard.

a) Test bilatéral

Soit H0 : " m=m0 " l'hypothèse nulle et H1 : " m≠ m0 " l'hypothèse alternative

Soit X la variable aléatoire prenant pour valeurs les moyennes des différents

échantillons de taille n=30, alors on sait que X suit une N(m0 ; ) , étant l'écart -

type de la population P.

Il faut donc que X soit telle que P(m₀ - t α σ/√n ˂ X ˂ m₀ + t α σ/√n ) = 1- α

On choisit un risque α

on cherche dans la table de la loi normale centrée réduite N(0,1), tα tel que

π ( t α ) = 1 -α /2

soit x̅ la moyenne de l'échantillon de taille n alors

Si x̅ ∈ [ m₀ - t α σ/√n ˂ X ˂ m₀ + t α σ/√n ] on accepte H0 avec le risque α

sinon on rejette H0 et donc on accepte H1 avec un risque α.

Remarque : dans le cas usuel où α= 5% alors tα = 1,96 et si α = 1% alors tα = 2,58.

Si σ est inconnu (ce qui est souvent le cas ) alors on prend son estimateur ponctuel (√n/n-1). S Où S est l'écart-type de l'échantillon.

b) Tests unilatéraux

Règle du test unilatéral à gauche

L'hypothèse nulle est H0 : "m = m₀ " et l'hypothèse alternative est H1 : "m > m₀ "

On peut la retrouver par exemple dans le cas d'un test de dépassement d'une norme.

On choisit un risque α.

On cherche dans la table de la loi normale centrée réduite N(0;1), tα tel que

π ( t α ) = 1 -α

Si x̅ ≤ m₀ + t α σ/√n alors on accepte H0 sinon on refuse H0 et donc on accepte

H1.

Rem : dans les cas usuels : si α = 5% alors tα = 1,645 ; si α = 1% alors tα = 2,33

c) Règle du test unilatéral à droite

L'hypothèse nulle est : H0 : "m =m₀ " et l'hypothèse alternative est : H1 : "m < m₀ "

On la retrouve dans les cas de tests de non égalité d'une norme.

On choisit un risque α

On cherche dans la table de la loi norma le centrée réduite N(0;1), tα tel que

π ( t α ) = 1 -α

Si x̅ ≥ m₀ - t α σ/√n on accepte H0, sinon on rejette H0 et donc on accepte H1.

Dans ces deux cas, il est très fréquent qu'on ne connaisse pas σ ; on a alors

σ/√n = s/√n-1

3. Tests relatifs à un fréquence ou un pourcentage

Tous les tests que l'on vient de voir restent valables ; il suffit de remplacer m par p

(proportion inconnue dans la population P), x̅ par f (proportion effective sur

l'échantillon) et σ/√n par √(f(1-f)/(n-1))