Estimation

A) Estimation ponctuelle

1. Moyenne

De manière générale, on choisit la moyenne d’un échantillon prélevé au hasard dans une population comme meilleure estimation ponctuelle de la moyenne inconnue μ de cette population.

2. Proportion

De même, on choisit la proportion f des éléments possédant une certaine propriété dans un échantillon prélevé aléatoirement dans une population comme meilleure estimation ponctuelle de la proportion inconnue P des éléments de cette population ayant cette propriété.

3. Variance. Ecart-type

On choisit le nombre (n/n-1).S² où n est l’effectif et S² la variance d’un échantillon prélevé au hasard dans une population, comme meilleure estimation ponctuelle de la variance inconnue σ² de cette population et on prend la racine de (n/n-1).S² comme meilleure estimation ponctuelle de l’écart-type σ inconnue de cette population.

B) Estimation par intervalle de confiance

Les estimations ponctuelles sont hélas liées au choix de l’échantillon ; il faut donc rechercher un nouveau type d’estimation de la moyenne d’une population ou d’un pourcentage. On cherche des intervalles qui, généralement, à 95% ou 99% des cas, contiennent la moyenne μ inconnue ou le pourcentage P d’une certaine propriété que possède la population.

1. La moyenne

a) 1er cas

Soit P la population : μ la moyenne est inconnue

σ l’écart-type est connu

Soit un échantillon : x̅ la moyenne est connue

n l’effectif est connu

On se place dans le cas ou l’on peut considérer que la variable aléatoire x̅ , qui à tout échantillon de taille n fixée, associe la moyenne de cet échantillon, suit une loi normale Ɲ(x̅ ; σ/√n).

Alors l’intervalle de confiance de la moyenne μ de la population, avec le coefficient de confiance

2π (t) - 1, lu dans la table de la loi normale centrée réduite Ɲ(0 ; 1) est:

[ x̅ - t σ/√n , x̅ + t σ/√n ]

Cette méthode conduit dans 100 2π (t) - 1) cas sur 100, pourcentage choisi à l’avance, à un intervalle de confiance contenant μ.

Les cas usuels les plus fréquent sont :

coefficient de confiance 95% alors t = 1,96

coefficient de confiance 99% alors t=2,58.

b) 2ème cas

Soit P la population : μ la moyenne est inconnue

σ l’écart-type est inconnu

Soit un échantillon : x̅ la moyenne est connue

s l’écart-type est connu

n l’effectif est connu et il est inférieur strictement à 30.

On se place dans le cas ou l’on peut considérer que la variable aléatoire x̅ , qui à tout échantillon de taille n fixée, n < 30, associe la moyenne de cet échantillon, suit une loi de Student à n – 1 degrés de liberté .

Alors l’intervalle de confiance de la moyenne μ de la population, avec le coefficient de confiance

2δ (t) - 1, lu dans la table de la loi de Student à n - 1 degrés de liberté est :

[ x̅ - t .S /√n-1 , x̅ + t .S /√n-1 ]

c) 3ème cas

Soit P la population : μ la moyenne est inconnue

σ l’écart-type est inconnu

Soit un échantillon : x̅ la moyenne est connue

s l’écart-type est connu

n l’effectif est connu et il est supérieur à 30.

On se place dans le cas ou l’on peut considérer que la variable aléatoire x̅, qui à tout échantillon de taille n fixée, n≥30 , associe la moyenne de cet échantillon, suit une loi normale Ɲ(x̅ ; σ/√n).

Alors l’intervalle de confiance de la moyenne m de la population, avec le coefficient de confiance

2π(t) - 1, lu dans la table de la loi normale centrée réduite Ɲ(0 ; 1): [ x̅ - t .S /√n-1 , x̅ + t . S /√n-1 ]

2. la proportion

A l’aide d’un échantillon, on définit de même un intervalle de confiance de la proportion P inconnue d’une caractéristique de la population.

a) 1er cas

Soit P la population : P la proportion est inconnue

Soit un échantillon : f la proportion est connue

n l’effectif est connu et inférieur strictement à 30.

Alors l’intervalle de confiance de la proportion P de la population avec le coefficient de confiance

2δ (t) - 1, lu dans la table de la loi de Student à n - 1 degrés de liberté est :

[f-t√(f(1-f)/n-1) ; f+t√(f(1-f)/n-1)].

b) 2ème cas

Soit P la population : P la proportion est inconnue

Soit un échantillon : f la proportion est connue

n l’effectif est connu et supérieur à 30.

Alors l’intervalle de confiance de la proportion P de la population avec le coefficient de confiance 2π(t) - 1, lu dans la table de la loi normale centrée réduite

[f-t√(f(1-f)/n-1) ; f+t√(f(1-f)/n-1)].

3. Exemples

a) 1er exemple

Dans une population P de grand effectif, on prélève de manière non exhaustive, un échantillon de

100 personnes dont on note la masse en kg:

masse 62 64 68 10 74

effectif 5 18 42 27 8

Calculer la moyenne et l’écart-type de cet échantillon: x̅ = 68 kg S = 3 kg

2. Donner un intervalle de confiance de la moyenne μ des masses des personnes au coefficient de confiance 95% : nous sommes dans le 3ème cas: μ ∈[68-1,96*3/√(100-1) ; 68+1,96*3√(100-1)] = [ 67,4 ; 68,6]