Exercices

Estimation

Exercice -1

Dans un centre avicole, des études antérieures ont montré que la masse d’un oeuf choisi au hasard peut être considérée comme la réalisation d’une variable al´eatoire normale X, de moyenne m et de variance σ 2. On admet que les masses des oeufs sont ind´ependantes les unes des autres. On prend un échantillon de n = 36 oeufs que l’on pèse. Les mesures sont données (par ordre croissant) dans le tableau suivant :

50, 34 52, 62 53, 79 54, 99 55, 82 57, 67

51, 41 53, 13 53, 89 55, 04 55, 91 57, 99

51, 51 53, 28 54, 63 55, 12 55, 95 58, 10

52, 07 53, 30 54, 76 55, 24 57, 05 59, 30

52, 22 53, 32 54, 78 55, 28 57, 18 60, 58

52, 38 53, 39 54, 93 55, 56 57, 31 63, 15

a) Calculer la moyenne et l’écart-type de cette série statistique.

b) Donner une estimation des paramètres m et σ 2.

c) Donner un intervalle de confiance au niveau 95%, puis 99%, de la masse moyenne m d’un oeuf.

Exercice -2

On suppose que le poids d’un nouveau né est une variable normale d'écart-type

égal `a 0,5 kg. Le poids moyen des 49 enfants nés au mois de janvier 2004 dans un hôpital a été de 3,6 kg.

a) Déterminer un intervalle de confiance à 95% pour le poids moyen d’un nouveau né dans cet hôpital.

Exercice -3

On veut étudier la proportion p de gens qui vont au cinéma chaque mois. On prend donc un échantillon de taille n = 100. Soit N le nombre de personnes dans l’échantillon qui vont au cinéma mensuellement.

1) On observe une proportion f de gens qui vont chaque mois au cinéma. Donner la forme d’un intervalle de confiance pour p, de niveau de confiance 1 −α.

3) Applications numériques : f = 0, 1, 1 −α = 90%, 95%, 98%.

Tests statistiques

Test de confirmation d'une moyenne

Exercice -1

On utilise une nouvelle variété de pommes de terre dans une exploitation agricole. Le rendement de l’ancienne variété était de 41.5 tonnes à l’ha. La nouvelle est cultivée sur 100 ha, avec un rendement moyen de 45 tonnes é l’ha et un écart-type de 11.25.

Faut-il, au vu de ce rendement, favoriser la culture de la nouvelle variété ?

Test de comparaison entre deux moyennes

Exercice

Vous voulez comparer l’effet de deux types de ration sur la croissance d’aulacodeaux. Vous sélectionnez 2 lots de 15 aulacodeaux de même âge et de poids semblables et vous soumettez chaque lot à chaque ration. Après l’expérimentation, vous calculez les gains moyens quotidiens des animaux de chaque lot.

Les résultats sont présentés au tableau 1.2.

Les deux rations n’étant pas administrées à un seul lot d’animaux, en d’autres termes, chaque ration étant administrée à un seul lot d’animaux, on dit que les échantillons des deux lots sont indépendants. On suppose que les variances des deux lots sont statistiquement égales. Vous voulez comparer les deux rations du point de vue des gains moyens quotidiens des animaux : vous effectuez un test t à deux échantillons indépendants.

Test du Chi2

Test d'ajustement

Exercice-1

Dans une agence de location de voitures, le patron veut savoir quelles sont les voitures qui n’ont roulé qu’en ville pour les revendre immédiatement. Pour cela, il y a dans chaque voiture une boîte noire qui enregistre le nombre d’heures pendant lesquelles la voiture est restée au point mort, au premier rapport, au deuxième rapport,..., au cinquième rapport. On sait qu’une voiture qui ne roule qu’en ville passe en moyenne 10% de son temps au point mort, 5% en première, 30% en seconde, 30% en troisième, 20% en quatrième, et 5% en cinquième. On décide de faire un test du Khi2 pour savoir si une voiture n’a roulé qu’en ville ou non.

1) Sur une première voiture, on constate sur 2000 heures de conduite : 210 h au point mort, 94 h en première, 564 h en seconde, 630 h en troisième, 390 h en quatrième, et 112 h en cinquième. Cette voiture n’a-t-elle fait que rester en ville ?

2) Avec une autre voiture, on obtient les données suivantes : 220 h au point mort, 80 h en première, 340 h en seconde, 600 h en troisième, 480 h en quatrième et 280 h en cinquième.

Test d'indépendance

Exercice

Vous vous intéressez à la relation entre deux espèces d’oiseaux de même genre et les préférences de niche écologique. Vous considérez trois niches écologiques A, B et C. Dans chaque niche écologique, vous comptez le nombre d’individus de chacune des deux espèces. Supposons que vous ayez trouvé les résultats présentés dans le tableau 1.4.

Dans une situation pareille, il faut faire le test du Chi2 pour vérifier statistiquement s’il existe une dépendance entre espèces d’oiseaux et niche écologique, l’hypothèse nulle étant l’indépendance statistique entre les niches écologiques et les espèces d’oiseaux considérées.